高考数学复习点拨 函数应用题分类解析

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1、函数应用题分类解析　　构设函数模型来解决现代经济社会中的某些实际问题．这类题目的特点是将已掌握的函数知识与现实生活或生产活动中的实际问题结合起来，从而解决相关的实际问题，它不仅可以考查分析问题和解决问题的能力，同时也可以考查数学意识及能力，有利于发展．因此，应很好地掌握这类问题的解法．　　依据题目所依托的一次函数、二次函数知识，这类题目大致可分为以下几类：　　一、方案设计型应用题　　例1某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料

2、4千克、乙种原料10千克，可获利润1．　　（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你给设计出来；　　（2）设生产A、B两种产品获总利润为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?　　分析：列方程（组）解应用题的关键是找出包括应用题全部含义的相等关系，而函数型应用题的解题步骤与列方程（组）解应用题的步骤相类似，只是不一定列出相等关系（可以是相等或不等关系）．　　解：（1）设安排生产A种产品工件，则生产Ｂ种产品为（50－x）件．依题意，得解此不等式组，得30≤x≤32．　　∵x为整数

3、，∴x只能取30、31、32，相应的（50－x）的值为9、18．　　∴生产方案有三种　　第一种生产方案：生产A种产品30件、B种产品　　第二种生产方案：生产A种产品31件、B种产品19件；　　第三种生产方案：生产A种产品32件、B种产品18件．　　（2）设生产A种产品的件数为x，则生产B种产品的件数为50－x，依题意，得y＝700x＋150－x）．　　∴y＝500x＋6000．其中x只能取30、31、32．　　∵－500＜0，∴此一次函数y随x的增大而减小．　　∴当x＝30时，y的值最大，　　即按第一生产方案安排生产，获总利润最大．　　最大利润为－500×30＋6000＝4500（元

4、）．　　答：按第一生产方案安排生产获总利润最大，最大利润为4500元．　　例2某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠．”若全票价为240元，　　（1）设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；　　（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；　　（3）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠?　　请同学自己给出解答．　　提示：（1）y甲＝1240，y乙＝144x＋144（x为正整数）；　　（2）x＝

5、4；　　（3）x＜4时，乙旅行社更优惠；当x＞4时，甲旅行社更优惠．　　二、二次函数的应用题　　例3某公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米．由柱子顶端A处的喷水头向外喷水，水流向各个方向沿形状相同的抛物线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水平最大高度2.25米．　　如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外?　　分析：建立以OA所在直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，O点为坐标原点的平面直角坐标系．设水流动的轨迹抛物线的顶点为B，水流落水与x轴交点为C，

6、建立函数解析式求解．　　解：由题意，知A（O，1.25）、B（1，2.25）、C（x，0）．设y＝ax2＋bx＋c.∴＝－x2＋2x＋1.25．　　当y＝0时，x＝2.5或x＝－0.5（舍去）．　　∴池的半径至少要2.5米．　　三、其他问题　　例4校办工厂现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年可增加250元产值，那么总产值y（万元）与新增加的投资额x（万元）之间的函数关系是什么?如果增加1.5万元投资，年产值可达到多少?　　解：依题意，得y＝15＋2.5x（x≥0）.　　当x＝1.5万元时，y＝15＋2.5×1.5＝15＋3.75＝18.75（万元）.　　答：（略）　　由

7、以上问题可知，当函数自变量的取值范围遇到实际问题时，应使实际问题有意义．因此，不管要求与否，求函数解析式时均应注明自变量的取值范围．