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时间:2018-05-03
《高考数学复习点拨 投影法证空间直线与平面平行》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、投影法证空间直线与平面平行 在证明空间直线与平面平行时,除利用面面平行外,还有一种重要的方法就是利用线线平行.即欲证直线,可证明平面内有一条直线与平面外的直线平行.为此就要在平面内找到(或作出)直线. 但从哪个角度考虑才能较快地作出辅助线呢? 以下我们来探讨一下. 先看下图,若,在直线上取两点,想象从空间一点发出的光线通过两点,照到平面上,投影点分别为,连结,则直线是直线在平面上的投影.显然有(如图1,图2所示). 这种形象化的思维,可以将大家的眼光一下子引向解题的正途.即要证,只需要象这样
2、找到的投影,证明即可.其中,从一点看,得到投影的方法称为中心投影法.以一束平行光照射,得到投影的方法称为平行投影法.以下我们来看一下这两种方法的应用.例1 如图4,三棱锥中,分别是的重心.求证:与平面的距离相等.分析:本题即证平面.由于从点看两点在平面内的投影分别是的中点,故宜于用中心投影法作辅助线.证明:如图5,连结,连结并延长,交于,连结并延长交于,连结.因为,故中.从而平面,故与平面的距离相等.例2 如图6,为异面直线,分别是的中点,过作平面,求证:平面.分析:从下方向上看,缺少一个观察点,要从
3、上方的点看,可从点透过平面看,当然也可以从点看.如图7,连结交平面于点,连结,易证,从而由,得.又,得.从点透过平面看,是观察点与直线分布在平面两侧的情况,也是投影法适合的一种类型.以下看一个平行投影法的例子.例3 如图8,四棱锥中,平面,分别是的中点,求证:平面.分析:从看,光线在平面上的投影点不好找.中心投影法较难解决问题.现考虑平行投影法:如图9,从两点分别引平行线与平面相交.如图9,在平面内,作,连结,则,,故四边形是平行四边形.所以,平面.下面这个例子,是了解了这两种方法后,从两个角度分别考
4、虑,得出了两种方法,实现了一题多解.例4 如图10.有公共边的两个全等矩形和不在同一个平面内.分别是对角线上的点,且.求证:平面.分析一:(中心投影法)如图11,连结并延长交直线于,连结,则在平面内.由,知.又,,故,所以.因此,又不在平面内,所以平面.分析二:(平行投影法)如图12,在矩形中作,交于,在矩形中作,交于,同样易证,所以平面.
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