高考数学复习点拨 分类计数原理与分布计数原理的探究

《高考数学复习点拨 分类计数原理与分布计数原理的探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、分类计数原理与分步计数原理的探究分类计数原理与分步计数原理是学习排列、组合以及概率知识的预备知识，在对高考的应用题的考查中，经常要运用分类计数原理或分布计数原理对问题进行分类或分布分析求解，如何灵活利用两个原理对问题进行分类或分布往往是解决排列、组合及概率应用题的关键。一、如何正确的理解两个原理呢？⑴分类计数原理：该原理是对涉及完成某一件事的不同类方法种数的计数方法，每一种方法都可以完成这件事；每一类的各种方法都是相互独立的。⑵分步计数原理：该原理是对涉及完成某一件事的各个步骤不同种方法的计数方法，完成一

2、件事有n个步骤，各个步骤相互依存，一个步骤的任何一种方法都不能独立完成这件事；完成这件事的每一中方法都应视为有n个步骤。⑶两个基本原理都是涉及完成一件事的不同方法种数的计数方法，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分布”有关，各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。二、如何选用分类计数原理与分布计数原理呢？在处理应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分布”，确切的说，要根据元素的不同性质进行“分类”，首先要根据问

3、题的特点，确定分类的标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而仅属于某一类，即：“类”与“类”间的确定性与并列性；根据事件发生的过程进行“分布”时，要确定好分布的标准，必须满足：完成一件事必须且只需连续完成这几步，即：各个步骤是相互依存的，各个步骤都完成了，这件事才算完成，注意“步”与“步”的连续性；然后根据两个计数原理去计算。三、解题方法与技巧：1、分类计数原理的应用：例1、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数有多少个？解：根据题意，将十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6

4、，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个。由分类计数原理可知：符合题意的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个答：这样的两位数共有36个。评注：解决具体问题时，如何分类或分布，开始学习时可能会遇到一点困难，因此需要不断学习中注意积累经验，掌握思维方法，逐步就会做到恰当分类，合理分布；请同学们思考，你能换一种分类方法给出另外的解法吗？2、分布计数原理的应用：例2、现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可

5、以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？分析：该问题是计数问题，完成的一件事是排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行，理清思路，按事件发生的过程合理分步；。解：先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法，；在排第三天，此时不能第二天已排的人，仍有4种排法；同理，第四，第五天均有4种排法，由分步计数原理可得值班表共有不同的排法数为：种。答：值班表共有1280种不同的排法；3、两个计数原理的综合应用：两

6、个原理一起应用时，要明确是先分类还是先分步，应用时，应目的明确，层次分明，先后有序。例3、某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法；分析：由题意知有1人既会英语又会日语，在选择2个人时，可根据只会英语的人进行分类完成；解：有题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只回日语第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法；则说日语的有种；此时共有种；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法；此时选会

7、日语的有2种；此时共有中；所以有分类计数原理知共有18+2=法；例4、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，在四张贺卡的不同分配方式有多少中？解法1：第一步：四个人中的任意一人（例如A）先取一张，则由题意知共有3种取法；第二步：由第一人取走的贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步：由剩余的两人中的任一人取，只有一种取法；第四步：最后一人取，只有一种取法。有分步记述原理，共有种方法。解法2：设四张贺卡分别记为A、B、C、D，由题意，某人（不妨设A卡的供卡人）取卡的情况有3种，据此

8、将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，为了避免重复或遗漏现象，我们用“树图”表示如下：BA—D—CC—D—AD—A—CCA—D—BD—B—AD—A—BDA—B—CC—A—BC—B—A+所以：共有9种不同的分配方式；