高中数学 分类计数原理与分布计数原理

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1、10.1分类计数原理与分布计数原理一、填空题1.有四位老师在同一年级的4个班级中,各教一个班的数学,在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法总数是________种．解析由分步乘法计数原理知监考方法总数为.答案92.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有　　　　种．解析依题意用三种颜色为五个顶点染色，可将五个顶点分成三组，模型为2、2、1，则共有=30种不同的染色方法．答案303．如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一

2、种颜色，则不同的涂法共有________种．解析　从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480种．答案　4804．4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有________种．解析　分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲．共有C种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法．第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法．故共有C×2×2＝24(种)．答案　245．从a、b、c、d、e五人中选1名班长，1名副班长，1名学习委员，1名纪律委员，1名文娱委员，但a不

3、能当班长，b不能当副班长．不同选法总数为________种．解析第1类，a当副班长，共有A44种选法；第2类，a当委员，共有C31C31·A33种选法．∴不同选法共有A44＋C31C31·A33＝24＋54＝78(种)．答案786．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．解析　报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种)．答案　45　547．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5

4、次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．解析　如图，甲传给乙时有5种情况；同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法．答案　108．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是________．解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个．答案　489．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的

5、形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________．(用数字作答)解析　由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为AA＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.答案　24010.数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种．4解析　必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一

6、种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×3＝12种填法．答案　1211．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有________场比赛．解析小组赛共有2C场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4场比赛；根据分类计数原理共有2C＋4＝16场比赛．答案　1612．从集合U＝{a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)∅，U都要选出；(2)对选出的

7、任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B.那么，共有________种不同的选法．解析　将选法分成两类．第一类：其中一个是单元素集合，则另一集合为两个或三个元素且含有单元素集合中的元素，有C×6＝24(种)．第二类：其中一个是两个元素集合，则另一个是含有这两个元素的三元素集合，有C×2＝12(种)．综上共有24＋12＝36(种)．答案　3613．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有________种．解析　如图所示，在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，共有3种不同选法．每种选法中又有2×2×2×2＝16