高考数学复习点拨 双曲线知能导航

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1、双曲线——知能导航一、课标要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，了解双曲线的实际背景和在解决实际问题中的作用；2．掌握双曲线的有关性质，并能用它们解决简单的问题。二、要点精讲1．双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。注意：（1）在此定义中，常数要大于0且小于，这一限制条件十分重要，不可忽视；（2）如果定义中常数改为等于，此时动点轨迹是以、为端点的两条射线（包括端点）；（3）如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段的垂直平分线；（4）如果定义中的常数改为大于，

2、此时动点不存在；（5）若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹成为双曲线的一支。2．双曲线的方程（1）是焦点在轴上的双曲线的标准方程，它的焦点坐标是、，有关系式；如果双曲线的焦点在轴上，焦点是、，只要将标准方程的、互换就可以得到它的方程，此方程是焦点在轴上的双曲线的标准方程。（2）通过比较两种不同类型的双曲线方程和可以看出，如果项的系数是正的，那么焦点在轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在轴上。对于双曲线不一定大于，因此不能象椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。（3）掌握椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别与联系：椭圆双曲线根据根据

3、∵，∴令∵，∴3．求双曲线方程的常用方法（1）待定系数法与求椭圆的标准方程的方法一样，若由题设条件易于确定方程的类型，可先设出方程的标准形式，再确定方程中的参数、的值，即“先定型，再定量”，若两种类型都有可能，则应进行分类讨论；（2）定义法若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，这样可减少运算量。4．双曲线的简单几何性质双曲线的几何性质列表如下：焦点在轴上的双曲线焦点在轴上的双曲线方程范围对称性关于轴、轴轴对称，关于原点中心对称实轴长虚轴长焦距顶点焦点、、渐近线离心率三、范例剖析例1（1）一动圆过定点，且与定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程；

4、（2）若动圆过定点，且与定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程。分析：如果所给几何条件正好符合双曲线的定义，则可直接写出动点的轨迹方程。解析：（1）设动圆圆心为，定圆的圆心为，则，由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹方程为。（2）设动圆圆心为，定圆的圆心为，则，由双曲线的定义可知动圆圆心的轨迹方程为。评注：得到等式或后，联想椭圆或双曲线的定义使问题简便得解。例2求中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，并且经过点和两点的双曲线方程。分析：该例若设双曲线的标准方程需分两种情况来解，比较麻烦，如果设方程为来解，则非常简单。解析：设双曲线方程为，由条件得解之得∴所求双曲线的方程为。评注：当双曲

5、线的焦点位置不确定时，将双曲线方程设为，运算比较简洁，注意与椭圆设法不同。例3已知双曲线的渐近线方程为，并且焦点都在圆上，求双曲线方程。分析：根据渐近线可知、的关系，而焦点在圆上，由可解得、，故问题获解。解法1：（1）当焦点在轴上时，设双曲线的标准方程为，∵渐近线方程为，∴。又，可求得。∴所求曲线方程为。（2）当焦点在轴上时，设双曲线的标准方程为。由题设得解之得。所求曲线方程为。综上可知，所求曲线方程为或。评注：该题已知双曲线的渐近线方程，需确定双曲线的焦点位置，因而需要分类讨论。例4设双曲线的半焦距为，直线过两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（）．2．

6、．．分析：写出直线的方程，利用点到直线的距离公式建立方程求解。解析：直线的方程为，即，则，即。两边平方得，∴。∴，解得，或。∵，∴，。故，∴，答案选。评注：解本题的关键是利用隐含条件，确定的取值范围。五、知能展示1．求以椭圆的长轴端点为焦点，且经过点的双曲线的标准方程。2．（北京）如果双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（）．．2．．3．（江苏）已知双曲线中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）．．．．4．（重庆）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（）．．．2．5

7、．（福建）已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于（）．．．．6．（上海）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是。7．（浙江）过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于、两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于。参考答案：1．2．3．4．5．6．7．2