高考数学复习点拨 点击面面垂直的判定与性质

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1、点击面面垂直的判定与性质一、面面垂直的判定与性质1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.二、证明面面垂直的基本方法有：（1）利用定义证明，即利用两平面相交成直二面角来证明；（2）利用面面垂直的判定定理证明，即若a⊥，a，则⊥在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若

2、没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用.三、典例选析例1．如下图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC.剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.

3、但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC的中点O，连结AO、SO，既可证明AO⊥平面BSC，又可证明SO⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS是二面角A—BC—S的平面角，转化为证明∠AOS是直角.证法一：取BC的中点O，连结AO、SO.∵AS=BS=CS，SO⊥BC，又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC，从而AO⊥BC.设AS=a，又∠BSC=90°，则SO=a.又AO===a，∴AS2=AO2+SO2，故AO⊥OS.从而

4、AO⊥平面BSC，又AO平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC.证法二：同证法一证得AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS就是二面角A—BC—S的平面角.再同证法一证得AO⊥OS，即∠AOS=90°.∴平面ABC⊥平面BSC.点评：本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法.此外，本题中证明∠AOS=90°的方法较为特殊，即通过“算”，定量地证得直角，而不是通过位置关系定性地推理出直角，这也是立体几何中证明垂直的一种重要方法.例3．已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B

5、1C1的一边A1C1于点D.（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D；（3）若AB∶AA1=，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.分析：本题的结论是“开放性”的，点D位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC1沿BA平行移动，BC1取AE1位置，则平面AB1E1一定平行BC1，问题可以解决.（1）解：如下图，将正三棱柱ABC—A1B1C1补成一直平行六面体ABCE—A1B1C1E1，由AE1∥BC1，A

6、E1平面AB1E1，知BC1∥平面AB1E1，故平面AB1E1应为所求平面，此时平面AB1E1交A1C1于点D，由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A1C1的中点.（2）证明：连结AD，从直平行六面体定义知AA1⊥底面A1B1C1D1，且从A1B1C1E1是菱形知，B1E1⊥A1C1，据三垂线定理知，B1E1⊥AD.又AD∩A1C1=D，所以B1E1⊥平面AA1D，又B1E1平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面AA1D.（3）解：因为平面AB1D∩平面AA1D=AD，所以过A1作A1H⊥AD于点H.作HF⊥AB1

7、于点F，连结A1F，从三垂线定理知A1F⊥AB1.故∠A1FH是二面角A1—AB1—D的平面角.设侧棱AA1=1，侧棱AB=.于是AB1==.在Rt△AB1A1中，A1F===，在Rt△AA1D中，AA1=1，A1D=A1C1=，AD==.则A1H==.在Rt△A1FH中，sin∠A1FH==，所以∠A1FH=45°.因此可知平面AB1D与平面AB1A1所成角为45°或135°.点评：本题主要考查棱柱的性质，以及面面关系、二面角的计算，同时考查空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力.立体几何的计算并非单纯的数字计

8、算，而是与作图和证明相结合的.立体几何计算题的主要步骤可以归纳为画—证—算三步.“画”是画图，添加必要的辅助线，或画出所要求的几何量，或进行必要的转化；“证”是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，然后进行最后一步计算.这三步之间紧密相连，环环相扣，互相制约，形成了解决立体几何计算题的思维程序，是综合考查学科能力的集中体现.例3．如下图，正四棱柱A