高考数学二轮复习提前练：97多面体和球

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1、第9章第7节[基础强化]考点一：球的截面性质及球面距离1．已知球的表面积为球面上有A、B、C三点，如图．如果AB＝AC＝BC＝2，则球心到平面ABC的距离为(　　)A．1　　　　　　　　　B.C.D．2答案：A2．设M、N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为(　　)A．3∶5∶6B．3∶6∶8C．5∶7∶9D．5∶8∶9解析：设球的半径为3R，依题意，得过N，M，O作垂直于OP的平面，截球面得到三个圆的半径的平方分别是(3R)2－(2R)2＝5R2、(3R)2－R2＝8R2、(3R)2＝9R2，因此这三个圆的面

2、积之比为5∶8∶9，选D.答案：D3．把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，折成直二面角后，在A，B，C，D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为(　　)A.π　　　B．πC.　　　D.解析：由题意可知AC＝2，取AC中点O，由A、B、C、D四点在同一球面上，且OA＝OB＝OC＝OD，知O为球心，半径R＝1.易知∠BOD为直二面角的平面角，∴∠BOD＝，∴B、D两点间的球面距离l＝R＝.答案：C4．已知球O的表面积为16π，且球心O在60°的二面角α－l－β的内部，若平面α与球相切于M点，平面β与球相截，且截面圆O1的半径为，P为圆O1的圆周上任意一点，则M、P两点的球面距

3、离的最小值为________．解析：如图，依题意，OM⊥α，OO1⊥β，∵球的表面积为16π，∴球的半径r＝2，∴OM＝2，过M作MA⊥l，∵平面β与球相截，连接AO1，交截面圆O1于P，此时点P即为所求，则截面圆O1的半径O1P＝，∠MAO1＝60°，∴∠MOO1＝1在直角三角形PO1O中，PO＝2，∴∠POO1＝60°，∴∠POM＝60°，M、P两点的球面距离为π.答案：π考点二：球的表面积与体积5．已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积．解：右图为球的一个大圆截面．π·O1A2＝49π，则O1A＝7.又π·O2B2＝400π，∴O2B＝

4、(1)当两截面在球心同侧时，OO1－OO2＝9＝－，解得R2＝625，S球＝4πR2＝2500π.(2)当两截面在球心异侧时，OO1＋OO2＝9＝＋，无解．综上，所求球的表面积为2500π.6．球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离都等于大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为4π，则此球的体积为(　　)A．4πB．4πC．8πD．8π解析：设球的半径R，则任意两点的球面距离为×2πR＝＝πR，两点连弧(大圆弧)所对圆的圆心角为，两点的连线长度为R，则这三点构成正三角形，边长为R，过这三点的截面圆的半径为×R＝R，面积为π()R2＝4π，所以R＝，所以V＝πR3＝8π.答案：D

5、考点三：球的组合体7．在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，侧面SBA和侧面SBC成直二面角．(1)求证：侧面SBC为直角三角形；(2)若∠BSC＝45°，SB＝a，求三棱锥S－ABC的外接球的体积．分析：(1)欲证侧面是直角三角形即证明BC⊥SB即可．(2)求外接球的体积的关键是找到球心的位置，求出半径，然后利用体积公式求解．解：(1)证明：过A作AD⊥SB于点D，∵平面SBA⊥平面SBC，∴AD⊥平面SBC.∵BC⊂平面SBC，∴BC⊥AD.∵SA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴SA⊥BC.∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB.∴侧面SBC为直角三角形．(2)取SC的中点为O，连结AO、

6、BO.在Rt△SAC与Rt△SBC中，OA＝SO＝OC＝OB，即O到三棱锥S－ABC的四个顶点的距离相等，∴O为球心．∵SB＝a，∠BSC＝45°，∴SC＝a.∴球半径R＝a.V＝πR2＝πa3.∴三棱锥S－ABC的外接球的体积为πa2.8．(·淮安模拟)(1)三棱锥A－BCD的两条棱AB、CD，满足AB＝CD＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的半径；(2)若正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，求这个正四面体的高．解：(1)如下图，取CD的中点E，连结AE、BE.因为AC＝AD，CE＝ED.所以在Rt△ACE中，AE＝＝4.同理，可得BE＝4.因为AB＝6，所以AB边上的

7、高为.所以S△ABE＝×6×＝3.因为AE⊥CD，BE⊥CD，所以CD⊥平面ABE.所以VA－BCD＝×3×6＝6.S表＝S△ABC×4＝48，而S表··R＝VA－BCD，解得R＝.因此内切球的半径为.(2)如下图，设四面体边长为x，设球半径为R，所以AH＝x,4πR2＝36π.所以R＝3.在Rt△AHO中，OH2＝OA2－AH2＝32－(x)2，又在Rt△AHS中，SH2＝SA2－AH2，所以SH2＝x2－