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1、第8章第3节[基础强化]考点一:抛物线定义的应用1.已知点P是抛物线y=x2上的动点,点P在直线y=-1上的射影是M,定点A(4,),则
2、PA
3、+
4、PM
5、的最小值是( )A. B.5C.D.6解析:如图,据抛物线定义可知点P到准线y=-的距离等于PF的长,故
6、PC
7、+
8、PA
9、=
10、PF
11、+
12、PA
13、≥
14、AF
15、=5(即点P移至点B时取得最小值),从而
16、PM
17、+
18、PA
19、=
20、PC
21、+
22、PA
23、+≥
24、AF
25、+=.答案:C2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F任作一条直线m,交此抛物线于P1、P2两点,求证:以P1、P2为直径的圆和这条抛物线的准线相切.证明:如图所示,设P1、P2的中点
26、为P0,过P1、P2、P0分别向准线l引垂线,垂足分别为Q1、Q2、Q0,根据抛物线的定义得:
27、P1F
28、=
29、P1Q1
30、,
31、P2F
32、=
33、P2Q2
34、,∴
35、P1P2
36、=
37、P1F
38、+
39、P2F
40、=
41、P1Q1
42、+
43、P2Q2
44、.∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,
45、P1P0
46、=
47、P0P2
48、,∴
49、P0Q0
50、=(
51、P1Q1
52、+
53、P2Q2
54、)=
55、P1P2
56、.由此可知,
57、P0Q0
58、是以P1P2为直径的圆P0的半径,且P0Q0⊥l,因此,圆P0与准线相切.考点二:抛物线的方程3.边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点,且过A、B的抛物线方程是( )A.y2=xB.y2=-xC.y2=±xD.y2=
59、±x解析:根据题意可知抛物线以x轴为对称轴,当开口向右时(如图所示),A(,),设抛物线方程为y2=2px,则有=2p·,所以p=,抛物线方程为y2=x,同理可得,当开口向左时,抛物线方程为y2=-x.答案:C4.抛物线的焦点在直线x-y+2=0上,则抛物线的标准方程为( )A.y2=4x和x2=-4yB.y2=-4x和x2=4yC.y2=-8x和x2=8yD.y2=8x和x2=-8y解析:直线x-y+2=0与两坐标轴的交点为(-2,0),(0,2),若抛物线的焦点为(-2,0),设其方程为y2=-2px,由-=-2,得-2p=-8,所求方程为y2=-8x.若抛物线的焦点为(0,2),设其方
60、程为x2=2py,由=2得2p=8,所求方程为x2=8y.答案:C考点三:抛物线的性质5.如图,过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线和圆(x-1)2+y2=1于A、B、C、D四点,则
61、AB
62、·
63、CD
64、=( )A.4B.2C.1D.解析:∵
65、AB
66、·
67、CD
68、=定值,∴分析直线与x轴垂直的情况,即可得到答案,∵圆(x-1)2+y2=1的圆心为y2=4x的焦点,半径为1,∴此时
69、AB
70、=
71、CD
72、=1,∴
73、AB
74、·
75、CD
76、=1,故选C.答案:C6.(·河南洛阳模拟)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,抛物线准线与x轴交于C点,若∠CBF=90°,则
77、AF
78、-
79、BF
80、
81、的值为( )A.B.pC.D.2p解析:如图,在直角三角形CBF中利用射影定理得y=(x1+)·(-x1)=-x=2px1,x1=p,
82、BF
83、=p,又直角三角形CBF与直角三角形ADF相似,∴==,
84、AF
85、=p,则
86、AF
87、-
88、BF
89、的值为2p,故选D.答案:D7.设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若++=0,则
90、
91、+
92、
93、+
94、
95、=( )A.9B.6C.4D.3解析:焦点F坐标为(1,0),设A、B、C坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).∴=(x1-1,y2),=(x2-1,y2),=(x3-1,y3)∵++=0,∴x1-1+x2-1+x3
96、-1=0,∴x1+x2+x3=3∴
97、
98、+
99、
100、+
101、
102、=++
103、=++=x1+1+x2+1+x3+1=6.答案:B8.已知抛物线y2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且
104、AB
105、≤2p.(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.解:(1)设直线l的方程为y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即x2-2(a+p)x+a2=0,∴
106、AB
107、=·≤2p,∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤-p2.又∵p>0,∴a≤-.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点C(x,y),由(1)知,y1
108、=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p,则有x==a+p,y===p.∴线段AB的垂直平分线的方程为y-p=-(x-a-p),从而N点坐标为(a+2p,0),点N到AB的距离为=p.从而S△NAB=···p=2p.[感悟高考]1.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点.若
109、FA
110、=2
111、FB
112、,则k=( )A.B.C.D.解析:过A、B作