经济数学基础微分学之第2章极限、导数与微分

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1、第一单元极限的概念及其运算第一节极限的概念一、学习目标极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的.学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念.并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限.二、内容讲解1.极限的概念1数列的极限：①数列：一般地，按一定规律排列的一串数，，…，，…称为数列，简记为。其中的第项称为该数列的通项。②数列的极限：给定数列，如果当无限增大时，无限地趋近某个固定的常数A，则称当趋于无穷时，数列以A为极限。记为2.极限的概念2研究函数是利用极限的方法来

2、进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。例1圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2讨论当时，的变化趋势.例3讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下定义2.1——函数的极限设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义，如果当无限趋于（但）时，无限趋近于某个常数，则称趋于时，以为极限，记为或；若自变量趋于时，函

3、数没有一个固定的变化趋势，则称函数在处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.时（），2.（包括这两种情况）问题思考：极限是描述函数的自变量在某个变化过程中函数的变化趋势，同一个函数在自变量不同的变化过程中，变化趋势可能不同，因此，在讨论函数的极限时，必须要知道自变量的变化过程，所以不好回答是多少，但是，，.考虑函数，依照极限的定义，不能考虑的极限.因为在处无定义.又如函数，如果讨论是的极限，则函数分别在和时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念：定义2.2——左右极限设函数在点的邻域（点可以

4、除外）内有定义，如果当且x无限于（即x从的左侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数L，则称当x趋于时，以L为左极限，记作 =L；如果当且x无限趋于（即x从的右侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数R，则称当x趋于时，以R为右极限，记作=R。3.极限存在的充分必要条件：极限存在的充分必要条件是：函数在处的左，右极限都存在且相等.即问题思考：设函数,求因为y，x由极限存在的充分必要条件知，由函数的图形也可得到此结论.4.无穷小量定义2.3——无穷小量和无穷大量称当时，为无穷小量，简称无穷小.无穷小量是一个特殊的变量，它

5、与有极限变量的关系是：变量y以为A极限的充分必要条件是：y可以表示成A与一个无穷小量的和，即无穷小量的有以下性质：性质1有限个无穷小量的和是无穷小量；性质2有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.无穷大量在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.例如因为，所以，当时，是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：定理：当（或）时，若是无穷小（而），则是无穷大，；反之，若是无穷大，则是无穷小.三、例题讲解例1讨论时,=？解：求极限时，可以利用极

6、限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当时，，即=4例2 讨论函数,当时的极限oy解：此函数在处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到例3 ,求解：注意到此函数当x=0的两侧表达式是不同，在0点处分别求左、右极限.可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在.例4 ，当时，解：由图形可知，当时，当时，是无穷小量.四、课堂练习练习1讨论函数当 时的变化趋势.yox解：函数的图形

7、是练习2设函数，问为何值时，存在？解：因为， ，所以.练习3当时，下列变量中 （）是无穷小量.  A）；B）；C）；D）解：因为，所以选择D正确.练习4设是无穷大量，则是无穷大量.证明：因为是无穷大量，由“倒数关系”知均为无穷小量，于是有是无穷小量，所以是无穷大量.五、课后作业1.讨论函数当时的变化趋势.2.判断下列极限是否收敛：（1）；（2）；（3）；（4）3.求下列数列的极限：（1）；（2）；（3）；（4）4.试用图形说明：不存在.5.设，求在是的左、右极限，并说明 在点极限是否存在.6.设，求，并讨论是否存在

8、.7.分析函数的变化趋势，并求极限.（1）；（2）；（3）；（4）8.当时，下列变量中哪些是无穷小量？9.当时，下列变量中是无穷小量的有：（1）；（2）；（3）；（4）10.函数在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？1.；2.（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散.3.（1）0；（2）1；（3）发散；（4）0.4.5.因为，，所以