列生成解大规模nphard整数与组合优化问题

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1、万方数据器溯驴盛曼黜d”螺，‰文章编号：1002—0411(2003)07粕04．04列生成解大规模NP．hard整数与组合优化问题高振，唐立新，汪定伟(东北大学信息学院135信箱．辽宁沈阳l10004)摘要：本文描述了列生成算法框架，特别用应用实例：广义分配问题(cAP)和带能力约束的批量问题(cIsP)说明了该算法的实现．最后得出结论：列生成算法是一种非常优秀而高效的算法．关键词：列生成；D如b趣-w拙分解原理；分枝定界；NP-hard中圈分类号：开29文献标识码：ACOLUM!NGENERA豇【oNSoLVINGLARGE．SCALENP-HARDD仃'EGERA

2、NDCOM吣Ⅱ呵AToRIALoPr咖ZATl0NPRoBLEMSGAOZhen，TANC“-xin，WangDi“g-wei(户0舶*135．s‰f矿脚钿w如ns出，

3、ccE喇耻咖．№^^蛐咖I踟h脚奸。曲m)哪wl100阱．c№o)Ah曲冶d：Theb鲴沁Pdnciplea士ldhameof∞lIlIn”妒n啪donalgo—thmw聃d髑口ibedindet日ilintIli5p叩erTwocl哪icalP加bl锄蛔蚰ce$：G哪eralizedAssi咿entPrnblem(cAP)“thec印舵italedk渊zingProblem(cIsP)were岫edt

4、oiullstmtetheimplement幽叩proc瞄BeB蛐ded缸i耽n∞s0ftltecol哪n曾时忙mtiona190dthm．Ind他endoftllispaper。thecond∞；叭sweregiven．KeyW研ds：col啪“gener砒ion；Dan乜ig·wolfedecomp帖i血mp曲ci出：hmnch-蚰d-bound；HP'hHrdl引言(In订0d眦60n)列生成算法是一种重要优化算法．最早被提出和应用是在60一70年代”。J，但真正达到实用程度还是在90年代H。]，在计算机技术已得到大幅提高后．现今，列生成算法已作为一种新颖、实用、

5、高效的优化方法得到众多学者的重视和肯定，特别在求解大规模优化问题上有突出优势，但该算法结构复杂，实现困难，已严重限制了该算法的应用．本文通过应用实例说明它的实现．2列生成算法(columnge耻mti蛐algo-rithmsl列生成算法的详细描述见文献[5]，这里仅给出它的一般框架．列生成算法步骤：step1：用启发式算法生成初始解．step2：解限制主规划，得单纯形乘子m收稿日期：2∞3一∞一lg基金项目：国家自然科学基金资助项目(60”4049)step3：解相应价格问题，判断最优性，如果得到最优解，终止；否则，转step4．Step4：选择具有最小判别数(mduc

6、edcost)的卢i(o，生成添加列．Step5：返回S￡印2．3实现实例(hnplem蚰ta廿onex锄pl髓)3．1解广义分配问题(GAPJ3．1．1问题描述考虑广义分配问题，其数学模型如下：(GAP)m“∑p，～(1)l‘I‘_．Iq‘“s．t．∑*F=1，JE}1，⋯．n}(2)】‘●‘■∑”∥#=c。，EE{l，⋯．m}(3)Ⅲ■‰E{0，1}，iE{1，⋯，m}，』E{l，⋯，n}(4)万方数据7期高振等冽生成解大规模HP-haId整数与组合优化问题605—————————————————————————————————————————一这里，P。E：+是任

7、务J{唆分配到机器i的效益系数，蛳e=．是任务，被分配到机器i时的能力消耗，c。e：+是机器i的可利用能力．％是二值指示变量，当任务J被分配到机器i时，x。=l，否则，z沪o．GAP问题不但本身作为一类重要问题独立存在，如：机器调度，人员调配，而且它还作为其他重要问题的子问题存在，如工厂选址问题等．因此研究GAP问题非常重要，它已被证明是NP-hard[9】，目前最有效的求解算法是列生成Hj．本文提出了一个列生成算法，与文献[4】的列生成算法的不同，本文基于列生成建模思想建模该问题并在个人计算机上实现．3．1．2GAP的列生成算法令K．=ln；，⋯，。：l，是所有可行的

8、分配n项工作到机器i的集合，我们称每一个可行分配方案为一个模式(Pattem)．即：o：=(nk，⋯，dk)e墨，^=l·⋯，t-是满足约束条件，五．”f磙=cn吐e{o，lf，，E{l，⋯，n}的一个可行解，令或表示选取方案。：的费用，由已知，哦=。丕p《·引入二值变量以e{o，If，iE{I，⋯，m}，&EK，y：=l，表示Ⅱ：被选取，y：=O，表示n：不被选取，那么这个GAP能被重新表示为集划分模型如下：，m且x∑d：y：(5)I‘I‘_·I‘‘《自“．．∑靠，卜l，，e{1，⋯，n}(6)l‘¨‘_．1‘‘‘I．∑y：≤1，iE⋯