2013届高考数学第一轮专项复习教案19

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1、13.3导数的综合问题●知识梳理1.若函数f（x）有导数，它的极值可在方程（x）=0的根处来考查，求函数y=f（x）的极值方法如下：（1）求导数（x）；（2）求方程（x）=0的根；（3）检查（x）在方程（x）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值.2.设y=f（x）是一多项式函数，比较函数在闭区间［a，b］内所有的极值，以及f（a）和f（b），最大者为最大值，最小者为最小值.●点击双基1.（2004年江苏，10）函数f（x）=x3－3x+1在闭区间［－3，0］

2、上的最大值、最小值分别是A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－19解析：（x）=3x2－3=0，x=±1，f（－3）=－17，f（0）=1，f（1）=－1，f（－1）=3.答案：C2.函数f（x）=x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则A.00D.b<解析：（x）=3x2－3b，当b>0，0<<1时，适合题意.答案：A3.已知f（x）=2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是A.－37B.－29C.－5D.以上都不对解析：（x）=6x（x－2），f（x）在（－

3、2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数的，x=0时，f（x）=m最大.∴m=3，f（－2）=－37，f（2）=－5.答案：A4.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=________.解析：y′=3x2+2ax+b，－1、3是3x2+2ax+b=0的两根，∴a=－3，b=－9.答案：－125.设函数f（x）=x3－－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）>m，则实数m的取值范围是________.解析：（x）=3x2－x－2=0，x=1，－，f（－1）=5，f（－）=5，f（1）=3，f（2）

4、=7.∴m<3.答案：m∈（－∞，）●典例剖析【例1】（2004年天津，20）已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.剖析：（1）分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右（x）的符号.（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上.解：（1）（x）=3ax2+2bx－3，依题意，（1）=（－1）=0，即解得a=1，b=0.∴f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）.令（x）=0，得x=

5、－1，x=1.若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则（x）＞0，故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数.若x∈（－1，1），则（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数.所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值.（2）曲线y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则y0=x03－3x.∵（x0）=3x02－3，∴切线方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）.代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）.解得x0=－2，∴M（－2，－2），切线方程为9x－y

6、+16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【例2】（2004年天津，21）已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值－2.（1）求f（x）的单调区间和极大值；（2）证明：对任意x1、x2∈（－1，1），不等式

7、f（x1）－f（x2）

8、＜4恒成立.剖析：∵x∈R且f（x）是奇函数，∴f（0）=0.又x=1是极值点，∴（1）=0，由此可得函数的解析式.（1）解：由奇函数定义，应有f（－x）=－f（x），x∈R，－ax3－cx+d=－ax3－cx－d，∴d=0.因此f（x）=ax

9、3+cx，（x）=3ax2+c.由题意知解得a=1，c=－3.∴f（x）=x3－3x，（x）=3x3－3=3（x－1）（x+1），（－1）=（1）=0.当x∈（－∞，－1）时，（x）＞0，故f（x）在单调区间（－∞，－1）上是增函数，当x∈（－1，1）时，（x）＜0，故f（x）在单调区间（－1，1）上是减函数，当x∈（1，+∞）时，（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数.∴（－∞，－1）和（1，+∞）为增区间；（－1，1）为减区间，x=－1时，f（－1）=2为极大值，x=－1时，f（1）=－2为极小值.（2）f（－1）=2，f（1）=－2.

10、∵f（x）在（－1，1）上是减函数，∴对任意x1、x2∈（－1，1