2018版高中数学（人教b版）必修五学案第二章 2.3.1 等比数列（一）含答案

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1、www.ks5u.com2.3　等比数列2.3.1　等比数列(一)[学习目标]　1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式了解其推导过程．[知识链接]下列判断正确的是________．(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列；(2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列；(3)等差数列的公差d可正可负，且可以为零；(4)在等差数列中，an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．答案　(1)(3)(4)[预习导引

2、]1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数q(q≠0)，那么这个数列叫做等比数列．2．等比中项如果三个数a、G、b组成等比数列，则G叫做a与b的等比中项．根据定义得G2＝ab，G＝±，只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数这一点与等差数列不同．3．等比数列的通项公式等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1，其中a1与q均不为0.要点一　等比数列通项公式的基本量的求解例1　在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a

3、3＋a6＝9，an＝1，求n；-6-(3)a3＝2，a2＋a4＝，求an.解　(1)∵　∴由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝，∴an＝a1qn－1＝.(2)方法一　∵由得q＝，从而a1＝32，又an＝1∴32×()n－1＝1，即26－n＝20，∴n＝6.方法二　∵a3＋a6＝q(a2＋a5)，∴q＝.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.(3)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝＝，a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝，解得q1＝，q2＝3.当q＝时，a1＝1

4、8，∴an＝18×()n－1＝2×33－n.当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.规律方法　a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程(组)，求出a1和q.跟踪演练1　(1)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.(2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.解　(1)由an＝a1·qn－1，得＝()n－1

5、，即()n－1＝()3，得n＝4.(2)因为-6-由得q＝或q＝2.当q＝时，a1＝－16；当q＝2时，a1＝1.∴an＝－16·()n－1或an＝2n－1.要点二　等比中项的应用例2　在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？解　由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，∴＝＝.规律方法　由等比中项的定义可知：＝⇒G2＝ab⇒G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2

6、＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．跟踪演练2　已知a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．解　由题意知b2＝(－)×(－)＝()6，∴b＝±.当b＝时，ab＝(－)2，解得a＝；bc＝(－)2＝(－)10，解得c＝()7.同理，当b＝－时，a＝－，c＝－()7.综上所述，a，b，c的值分别为，，()7或－，－，－()7.要点三　等比数列的判定例3　数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)．(1)求a2，a3，并证明数

7、列{an－n}是等比数列；(2)求an.解　(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.-6-下面证明{an－n}是等比数列：＝＝＝3(n＝1,2,3，…)．又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1.规律方法　判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：(1)定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：a＝anan＋2(n∈N＋且an≠0)⇔{an}为等比数列．(3)通项公

8、式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．跟踪演练3　已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．解　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a