2017-2018学年高中数学人教a版选修4-5教学案：第四讲 本讲知识归纳与达标验收

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案　　　　　　　　　　对应学生用书P45考情分析通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确性．数学归纳法的应用主要出现在数列解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．真题体验1．(安徽高考)数列{xn}满足x1＝

2、0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．解：(1)先证充分性，若c＜0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c＜xn，故{xn}是递减数列；再证必要性，若{xn}是递减数列，则由x2＜x1，可得c＜0.(2)(i)假设{xn}是递增数列．由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c.由x1＜x2＜x3，得0＜c＜1.由xn＜xn＋1＝－x＋xn＋c知，对任意n≥1都有xn＜，①注意到－xn＋1＝x－xn－c＋＝(1－－xn)(－xn)，②由①式和②式可得1－－xn＞0，即xn＜1－.由②式和x

3、n≥0还可得，对任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③反复运用③式，得－xn≤(1－)n－1(－x1)＜(1－)n－1.xn＜1－和－xn＜(1－)n－1两式相加，知2－1＜(1－)n－1对任意n≥1成立．根据指数函数y＝(1－)n的性质，得2－1≤0，182017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案c≤，故0＜c≤.(ii)若0＜c≤，要证数列{xn}为递增数列，即xn＋1－xn＝－x＋c＞0.即证xn＜对任意n≥1成立．下面用数学归纳法证明当0＜c≤时，xn＜对任意n≥1成立．(1)当n＝1时，x1＝0＜≤，结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即：x

4、k＜.因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)＜f()＝，这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．故xn＜对任意n≥1成立．因此，xn＋1＝xn－x＋c＞xn，即{xn}是递增数列．由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是.2．(江苏高考)已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求2f1＋f2的值；(2)证明：对任意的n∈N*，等式nfn－1＋fn＝都成立．解：由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋，所以f1＝－，f2＝－＋.故2f1＋f2＝－1.(2

5、)证明：由已知，得xf0(x)＝sinx，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf′0(x)＝cosx，即f0(x)＋xf1(x)＝cosx＝sin，类似可得2f1(x)＋xf2(x)＝－sinx＝sin(x＋π)，182017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案3f2(x)＋xf3(x)＝－cosx＝sin，4f3(x)＋xf4(x)＝sinx＝sin(x＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．①当n＝1时，由上可知等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.因为[kfk－1(x)＋xfk

6、(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，′＝cos·′＝sin，所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin.因此当n＝k＋1时，等式也成立．综合①②可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．令x＝，可得nfn－1＋fn＝sin(n∈N*)．所以＝(n∈N*)．　　　　　　　　　　对应学生用书P45归纳—猜想—证明不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题．[例1]　已知数列{an}的第一项a1

7、＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)，(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．[解]　(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N＋)．182017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案(2)①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n＝k时成立