安徽省合肥市中国科学技术大学附属中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学Word版含解析.docx

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中科大附中2023-2024学年第二学期高一年级月考数学试卷考试时间：120分钟卷面满分150分一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，点表示复数，则的虚部是（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先得到，则，再求出其虚部即可.【详解】由复数的几何意义得，从而，其虚部为.故选：C2.已知点则与同方向的单位向量为A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.考点：向量运算及相关概念.3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A.B.C.2D.3【答案】D【解析】【详解】由余弦定理得，第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！4已知，用，表示，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量减法，将用表示，然后整理可得.【详解】因为，所以，整理得.故选：C5.在中，，，则的面积为（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐标求出，然后由三角形面积公式可得.【详解】因为，，所以，，第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 .又，所以，所以.故选：A6.在中，若，则的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解.【详解】由，得，由余弦定理得，化简得，当时，即，则为直角三角形；当时，得，则为等腰三角形；综上：为等腰或直角三角形，故D正确.故选：D.7.点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（）A.点是的垂心B.点是的重心C.点是的外心D.点是的内心【答案】B【解析】【分析】由已知判断点P在直线上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可.【详解】记的中点为D，则，所以，点P在直线上.A选项：若点是的垂心，则，第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 所以，所以为等腰三角形，A正确；B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误；C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上，所以，所以为等腰三角形，C正确；D选项：若点是的内心，则为的角平分线，所以，又，所以与全等，故，D正确.故选：B8.设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1，则（）A.若确定，则唯一确定B.若确定，则唯一确定C若确定，则唯一确定D.若确定，则唯一确定【答案】A【解析】【分析】画图，利用点与直线上的点的距离大小关系，以及向量的加减法性质判定即可.【详解】如图，记、、，则，则当时，取得最小值1，若确定，则唯一，不确定，若确定，可能有两解（图中或），若确定，则不确定，从而也不确定.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下面四个命题中的真命题为（）A.若复数，则B.复数的充要条件条件是C.对任意复数都有D.若复数（），且，则【答案】ABC【解析】【分析】根据共轭复数的概念判断AC，根据复数为实数及共轭复数的概念判断B，根据复数模的运算判断D.【详解】对于A，设，若复数，即，则，正确；对于B，设，若，所以，复数的充要条件是，正确；对于C，设，，则，所以，而，即有，正确；对于D，若复数（），且，所以，解得，错误.故选：ABC.10.如图所示设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（）A.B.C.D.在上的投影向量为【答案】AD【解析】【分析】向量差的坐标运算判断选项A；利用向量的模公式计算判断选项B；用向量的数量积公式判断选项C；利用在上的投影向量公式判断选项D.【详解】对于A，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，故C错误；对于D，，在上投影向量为，故D正确；故选：AD.11.在中，，，则下列结论正确的是（）A.若，则有两解B.周长有最大值6C.若是钝角三角形，则边上的高的范围为D.面积有最大值【答案】ACD【解析】【分析】A选项，根据得到结论；B选项，由余弦定理和基本不等式求出周长的最大值；C选项，求出三角形的外接圆半径，画出图形，数形结合得在或上，边上的高第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 的范围为；D选项，在C选项的基础上求出面积最大值.【详解】A选项，，故，故有两解，A正确；B选项，由余弦定理得，即，化简得，由基本不等式得，故，当且仅当时，等号成立，解得，故的周长最大值为，B错误；C选项，由正弦定理得，故的外接圆半径为2，如图所示，将放入半径为2的圆中，其中，，故，是钝角三角形，故在或上，故边上的高的范围为，C正确；D选项，由C选项可知，当落在的中点时，边上的高最大，其中，此时高为，面积最大值为，D正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则______.【答案】2【解析】【分析】由可得，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由两边同时平方可得：，所以，整理得，而，解得：，故答案为：.13.如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且，则x的取值范围是___；当时，y的取值范围是___.【答案】①.②.【解析】【分析】由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以的反向延长线为相邻两边，得到x的取值范围，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到y的取值范围.【详解】解：如图，,点在射线，线段及延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以的反向延长线为相邻两边，故x的取值范围是；第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，,故y的取值范围是：.【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四边形法则，属基础题.14.在中，内角的对边分别为，角为锐角，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【详解】设，则，由，得,.由余弦定理得由角为锐角得，所以，所以，即.故答案为四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，，.已知是纯虚数.（1）求实数的值；（2）若三点共线，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可；（2）根据求解即可.【小问1详解】由题意可得，由于复数是纯虚数，则，解得；【小问2详解】由（1）可得，，则点，，点所以，　　　　因三点共线，所以，所以，所以16.已知向量满足.（1）求向量的夹角；（2）求向量与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案；（2）求出向量与的数量积，求得的模，根据向量的夹角公式，即可求得答案.【小问1详解】由，得，即，故，则，而，所以；【小问2详解】第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 ，，所以.17.在中，内角的对边分别为.已知（1）求的值（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得，化简即得答案．（2）由（1）知，结合题意由余弦定理可解得，，从而计算出面积．【详解】（1）由正弦定理得，所以即即有，即所以（2）由（1）知，即，又因为，所以由余弦定理得：，即，解得,所以，又因为，所以，故的面积为=.【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．18.如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径，一种是从沿直线步行到第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 ，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲､乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为50.在甲出发4后，乙从乘缆车到，在处停留1后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为130，索道AB长为2080，经测量，.（1）求AC的长；（2）问：乙从A出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过5，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）2520米（2）（3）（单位：）【解析】【分析】（1）根据同角关系由余弦可求正弦值，进而可由和差角公式求解,然后在中，利用正弦定理即可求解.（2）根据余弦定理表达出两人之间的距离，然后根据二次函数的最值进行求解.（3）根据甲乙两人行走的时间与路程之间的关系即可求解.【小问1详解】在中，因为，，所以，∴由正弦定理，∴，所以AC的长为2520米.【小问2详解】假设乙出发tmin后，甲､乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 由于，即，故当时，甲､乙两游客距离最短.【小问3详解】由正弦定理，∴，甲到达共需要分钟，乙开始从出发时，已经用去分钟.乙从出发时，甲已走了米，还有1470米到达.设乙步行的速度为，由题意得解得所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过5min，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内.19.在中，内角的对边分别是，且，.（1）求角B；（2）若，求边上的角平分线长；（3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；（2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可；（3）利用向量加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.【小问1详解】第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 由及正弦定理得，即，即，所以，因为，所以.因为，所以.【小问2详解】由及余弦定理得，又，所以，由得，所以，所以，解得.【小问3详解】因为的的中点，所以，则，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即边上的中线的取值范围为.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司