重庆沙坪坝区重庆市第一中学2020届高三下学期4月月考文科数学试题 Word版含解析.docx

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2019~2020学年4月重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三下学期月考文科数学试卷（满分：150分）一、选择题（共十二题：共60分）1.已知集合，，则A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】由题意得：，∴故选C2.若，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】∵∴故选D3.函数的图象大致为A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】分析函数的奇偶性，当时函数值的正负，以及当时，，利用排除法可得出函数的图象.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，，该函数为奇函数，排除A选项；当时，，此时，，排除D选项；当时，，远远大于，此时，，排除C选项.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般结合函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来进行判断，考查推理能力，属于中等题.4.已知向量满足，，则A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘： 5.已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A.(–13)B.(–1,)C.(0,3)D.(0,)【答案】A【解析】【详解】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是A.17πB.18πC.20πD.28π【答案】A【解析】【详解】试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即 ，故选A．【考点】三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.7.在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先保证截面圆与内切，记圆的半径为，由等面积法得，解得．由于三棱柱高为，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为，由此能求出结果．【详解】解：如图，由题意可知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．先保证截面圆与内切，记圆的半径为，则由等面积法得，所以，又因为，，所以，所以．由于三棱柱高为，此时可以保证球在三棱柱内部，若增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为，所以．故选：．【点评】本题考查球的最大体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题.8.在中，，，且的面积为，则 A.1B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】先根据三角形的面积求出AB，再利用余弦定理求BC得解.【详解】由题得.由余弦定理得所以BC=2.故选C【点睛】本题主要考查三角形的面积的应用和余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.设，若满足约束条件，则的最大值的取值范围为AB.C.D.【答案】C【解析】【详解】作出可行域如下图：目标函数为，当目标函数过点时，，因为，所以，故选C.10.若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（）A.1B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小即可解出．【详解】由，得，∴，则，所以焦点，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得的最小值为.故选：D．11.双曲线：的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是AB.C.1D.2【答案】D【解析】【详解】分析：利用点到直线的距离计算出，从而得到，再根据面积为1得到，最后结合离心率求得.详解：因为，，所以，故即，由，所以即，故，双曲线的实轴长为.故选D.点睛：在双曲线中有一个基本事实：“焦点到渐近线的距离为虚半轴长”，利用这个结论可以解决焦点到渐进线的距离问题.12.已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据两函数的对称中心均为（0，1）可知出＝0，＝m，从而得出结论．【详解】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）关于点（0，1）对称， 函数图象关于点（0，1）对称，即有（，）为交点，即有（﹣，2﹣）也为交点，（，）为交点，即有（﹣，2﹣）也为交点，…则有（+）+（+）+…+（+），=＝m．故选A．【点睛】本题考查抽象函数的运用：求和方法，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（共四题：共20分）13.已知向量，，若，则______．【答案】-2【解析】【分析】利用平面向量共线定理即可得出．【详解】解：∵∥，∴﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.设，若，则______．【答案】【解析】【分析】首先求出的定义域，设，，说明为奇函数，由得出，代入即可得出答案．【详解】因为，易知，所以的定义域为， 设，，因为，所以为奇函数，所以，即，所以，故答案为：．15.若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】【详解】当时，由椭圆定义知，解得，不符合题意，当时，由椭圆定义知，解得，所以，故填.点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中的取值，从而确定c,计算椭圆的离心率.16.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】利用正弦函数的性质及条件可求得ω的表达式，再根据函数在上单调可知－＝≤＝，求得ω≤12，经验证ω＝11不满足题意，ω＝9满足条件，得解.【详解】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋，即＝T＝·(k∈Z)， 所以ω＝2k＋1(k∈Z)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，解得ω≤12，ω＝11时f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，不成立，ω＝9时满足条件，由此得ω的最大值为9.故答案为：9三、解答题（共五题：共50分）17.设数列的前项和是，且是等差数列，已知，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【详解】试题分析：(1)利用等差数列基本公式求出公差得到的通项公式；（2），利用裂项相消法求出数列的前项和.试题解析：（1）记，∴，又为等差数列，公差记为，，∴，得，∴，得时，，时也满足.综上（2）由（1）得∴，点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为，求前项和：；（2）已知数列的通项公式为，求前项和：；（3）已知数列的通项公式为，求前项和:.18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：年龄频数支持“生二胎”（1）由以上统计数据填下面列联表，并问是否有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；年龄不低于岁的人数年龄低于岁的人数合计支持不支持合计（2）若对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？参考数据：，，.【答案】（1）没有，理由见解析；（2）.【解析】【分析】 （1）根据题中数据完善列联表，计算出的观测值，利用参考数据即可对题中的结论进行判断；（2）将所选人中支持“生育二胎放开”的人记为、、、，不支持“生育二胎放开”的人记为，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽取的两人都支持“生育二胎放开””所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出结果.【详解】（1）根据题中数据，列联表如下：年龄不低于岁的人数年龄低于岁的人数合计支持不支持合计，因此，没有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（2）由题意可知，年龄在的有人，其中支持“生育二胎放开”的有人，分别记为、、、，不支持“生育二胎放开”的人记为，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种.事件“所抽取的两人都支持“生育二胎放开””包含的基本事件有：、、、、、，共种，由古典概型的概率公式可知，所抽取的两人都支持“生育二胎放开”的概率为.【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，一般利用列举法列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于基础题.19.如图，在三棱柱中，侧面底面，四边形是边长为2的菱形，，，，E，F分别为AC，的中点． （1）求证：直线EF∥平面；（2）设分别在侧棱，上，且，求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．【答案】（1）见解析（2）（或者）【解析】【分析】（1）取A1C1的中点G，连接EG，FG，证明FG∥A1B1．推出FG∥平面ABB1A1．同理证明EG∥平面ABB1A1，从而平面EFG∥平面然后证明直线EF∥平面ABB1A1；（2）证明BE⊥AC．推出BE⊥平面ACC1A1．求出四棱锥B﹣APQC的体积，棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，即可得到面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．【详解】（1）取的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，的中点，所以FG∥．又平面，平面，所以FG∥平面．又AE∥且AE＝，所以四边形是平行四边形．则∥．又平面，平面，所以EG∥平面． 所以平面EFG∥平面．又平面，所以直线EF∥平面．（2）四边形APQC是梯形，其面积．由于，E分别为AC的中点.所以．因为侧面底面，所以平面．即BE是四棱锥的高，可得．所以四棱锥的体积为．棱柱的体积．所以平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比为（或者）．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知椭圆的右焦点为F，P是椭圆C上一点，轴，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）由题意写P点坐标和b，代入方程解得a值，即得方程；（2）先计算斜率不存在时的面积，再设斜率存在是直线的方程并联立方程得到韦达定理，求弦长与点到直线的距离，即可计算面积，换元，求其最大值即可. 【详解】（1）由题知，点，，则有，又，解得，，故椭圆C的方程为.（2）当轴时，M位于x轴上，且，由可得，此时.当AB不垂直x轴时，设直线AB方程为，与椭圆交于，，由，得，，从而，已知，可得.设O到直线AB的距离为d，则，.将代入化简得.令，则，故，当且仅当时取等号，此时的面积最大， 故面积的最大值为2.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆的综合应用即三角形面积最大值的求法，属于难题.21.已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）先求导数，再讨论符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得且，即得的取值范围.试题解析：解：（1），当时，，∴在上单调递减.当时，令，得；令，得.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，令，得；令，得.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，在上单调递减，∴，不合题意.当时，，不合题意.当时，，在上单调递增，∴，故满足题意.当时，在上单调递减，在单调递增，∴，故不满足题意.综上，的取值范围为. 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.四、选做题（共二题：共20分）22.在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，将代换，即可解出；（2）方法一：依题可知曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，根据数形结合，以及直线与圆的位置关系，即可解出.【详解】（1）由，，，代入得，，即的直角坐标方程为．（2）［方法一］：【最优解】分类讨论由（1）知是圆心为，半径为的圆．而是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点． 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．［方法二］：解方程组法联立，化简可得，，当时，，因为与有且仅有三个公共点，所以该方程必然有实根，而，设方程的两实根为，由可知，方程有两个相异或相等正根．当时，，因为与有且仅有三个公共点，所以该方程必然有实根，而，设方程的两实根为，由可知，方程有两个相异或相等负根．当方程组有两个相异正根，两相等负根时，，解得：；当方程组有两个相等正根，两相异负根时，，解得：．综上，所求的方程为．【整体点评】（2）方法一：根据直线与圆的位置关系分类讨论求出，是本题的最优解；方法二：根据图象的交点个数与方程个数之间的关系求解，是利用代数方法解决几何问题的基本方式，对运算能力有一定要求． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数，M为不等式的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b时，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【详解】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．试题解析：（I）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而，因此【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数和图象，结合图象求解．