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2023-2024学年春学期高三期初学情调研试卷数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A.B.C.D.2．已知a,b,c是空间的一个基底，则可以与向量p=a+b，q=a−b构成基底的向量是()A.aB．bC．a+2bD．a+2c3．若直线l1:ax+(1−a)y−3=0与直线l2:a−1x+2a+3y−2=0互相垂直，则a的值为()A．−3B．−12C．0或−32D．1或−34．已知等差数列an共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an+1=()A．30B．29C．28D．275．如图，一个底面边长为23π3cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）A．17πcm2B．4πcm2C．32πcm2D．23πcm26．某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有()A．18种B．36种C．60种D．72种7．双曲线C:x29−y216=1的右支上一点P在第一象限，F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若内切圆I的半径为1，则△PF1F2的面积等于( )A.323B.12C.24D.163
8．已知函数f(x)=|x−1|,x<2,2(x−3)2−1,x≥2,若方程f(f(x))=12的实根个数为( )A.4B.8C.10D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是()A．bsinB=a+b+csinA+sinB+sinCB．若A>B，则sin2A>sin2BC．a=bcosC+ccosBD．若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为等边三角形10．设a为常数，，，则()A.B.恒成立C.D.满足条件的不止一个11．如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是()A．直线与直线相交B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C．不存在点，使得直线与直线所成角为D．三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知α∈0,π,sinα−π6=13，则cos2α+π6的值为.13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A
，B两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|.已知M(4,6)，点N在圆C:x2+y2+6x+4y=0上运动，若点P满足d(M,P)=2，则|PN|的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．(1)求角的大小；(2)若时，求面积的最大值．16．（15分）数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1−an(n∈N∗)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn=|a1|+|a2|+⋯+|an|，求Sn；(3)设bn=1n(12−an)(n∈N∗)，Tn=b1+b2+⋯+bn(n∈N∗)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N∗，均有Tn>m32成立若成立？求出m的值；若不存在，请说明理由．17．（15分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2，CC1=3，点D, E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1 CE=2, M为棱A1B1的中点．（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B−B1E−D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．
18．（17分）已知M，N为椭圆C1:x2a2+y2=1(a>0)和双曲线C2:x2a2−y2=1的公共左、右顶点，e1，e2分别为C1和C2的离心率．(1)若e1e2=154．(ⅰ)求C2的渐近线方程;(ⅱ)过点G(4,0)的直线l交C2的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线x=1相交于A1，B1两点，记A，B，A1，B1的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x4,y4)，求证：1y1+1y2=1y3+1y4;(2)从C2上的动点P(x0,y0)(x0≠±a)引C1的两条切线，经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值;若不是，请说明理由．19．（17分）已知Am=a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a2,m⋮⋮⋱⋮am,1am,2⋯am,m(m≥2)是m2个正整数组成的m行m列的数表，当1≤im32对任意n∈N∗成立，即nn+1>m16对任意n∈N∗成立，∵nn+1(n∈N∗)的最小值是12，∴m16<12，∴m的最大整数值是7．即存在最大整数m=7，使对任意n∈N∗，均有Tn>m32． 17．（15分）解：依题意，以C为原点，分别以CA、CB、CC1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C1(0,0,3)、A1(2,0,3)、B1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3).（Ⅰ）依题意，C1M=(1,1,0)，B1D=(2,−2,−2)，从而C1M⋅B1D=2−2+0=0，所以C1M⊥B1D；（Ⅱ）依题意，CA=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量，EB1=(0,2,1)，ED=(2,0,−1)．设n=(x,y,z)为平面DB1E的法向量，则{n⋅EB1=0n⋅ED=0，即{2y+z=02x−z=0，不妨设x=1，可得n=(1,−1,2)．cos=CA⋅n|CA|⋅|n|=22×6=66，∴sin=1−cos2=306．所以，二面角B−B1E−D的正弦值为306；（Ⅲ）依题意，AB=(−2,2,0)．由（Ⅱ）知n=(1,−1,2)为平面DB1E的一个法向量，于是cos=AB⋅n|AB|⋅|n|=−422×6=−33．所以，直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为33.18．（17分）解：(1)由题意得e1=a2−1a，e2=a2+1a，所以e1e2=a4−1a2=154，又a>0，解得a2=4，(i)故双曲线C2的渐近线方程为y=±12x；(ii)设直线AB的方程为x=ty+4，则x=ty+4,x24−y2=1,消元得：(t2−4)y2+8ty+12=0，Δ>0且t≠±2，所以y1+y2=−8tt2−4,y1y2=12t2−4,故1y1+1y2=y1+y2y1y2=−2t3，又直线AA1的方程为y=y1x1+2(x+2)，所以y3=3y1x1+2，同理y4=3y2x2+2，所以1y3+1y4=13(x1+2y1+x2+2y2)=13(ty1+6y1+ty2+6y2)=2ty1y2+6(y1+y2)3y1y2=23t+2(y1+y2)y1y2=23t+2(1y1+1y2)=23t−43t=−23t，故1y1+1y2=1y3+1y4．(2)设两个切点为P1(x5,y5)，P2(x6,y6)，由题意知PP1，PP2斜率存在，直线PP1方程为l1:y=k1(x−x5)+y5，联立x2a2+y2=1,y=k1(x−x5)+y5,
由Δ=0得k1=−x5a2y5，所以l1:x5xa2+y5y=1，同理直线PP2方程为l2:x6xa2+y6y=1，由l1，l2过P点可得x5x0a2+y5y0=1,x6x0a2+y6y0=1可得直线P1P2的方程为x0xa2+y0y=1，不妨设，直线P1P2与双曲线两渐近线y=±1ax交于两点P1′(a2x0+ay0,ax0+ay0)，P2′(a2x0−ay0,−ax0−ay0)，则围成三角形的面积S=12|a2x0+ay0⋅−ax0−ay0−ax0+ay0⋅a2x0−ay0|=|a3x02−a2y02|.因P在双曲线C2上，x02−a2y02=a2，则S=a3a2=a为定值．19．（17分）解：(1) A3=123231312 是 Γ3 数表，d(a1,1,a2,2)+d(a2,2,a3,3)=2+3=5.(2)由题可知 d(ai,j,ai+1,j+1)=|ai,j−ai+1,j|+|ai+1,j−ai+1,j+1|=1 (i=1,2,3;j=1,2,3) ．当 ai+1,j=1 时，有 d(ai,j,ai+1,j+1)=|ai,j−1|+|ai+1,j+1−1|=1 ，所以 ai,j+ai+1,j+1=3 ．当 ai+1,j=2 时，有 d(ai,j,ai+1,j+1)=|ai,j−2|+|ai+1,j+1−2|=1 ，所以 ai,j+ai+1,j+1=3 ．所以 ai,j+ai+1,j+1=3(i=1,2,3;j=1,2,3).所以 a1,1+a2,2+a3,3+a4,4=3+3=6, a1,3+a2,4=3,a3,1+a4,2=3.a1,2+a2,3+a3,4=3+1=4 或者 a1,2+a2,3+a3,4=3+2=5 ，a2,1+a3,2+a4,3=3+1=4 或者 a2,1+a3,2+a4,3=3+2=5 ，a1,4=1 或 a1,4=2 ， a4,1=1 或 a4,1=2 ，故各数之和 ⩾6+3+3+4+4+1+1=22 ，当 A4=1111122212111212 时，各数之和取得最小值 22 ．(3)由于 Γ4 数表 A10 中共 100 个数字，必然存在 k∈1,2,3,4 ，使得数表中 k 的个数满足 T≥25.设第 i 行中 k 的个数为 ri(i=1,2,⋅⋅⋅,10).当 ri≥2 时，将横向相邻两个 k 用从左向右的有向线段连接，则该行有 ri−1 条有向线段，所以横向有向线段的起点总数 R=ri⩾2(ri−1)⩾∑i=110(ri−1)=T−10.设第 j 列中 k 的个数为 cj(j=1,2,⋅⋅⋅,10) ．当 cj≥2 时，将纵向相邻两个 k 用从上到下的有向线段连接，则该列有 cj−1 条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数 C=cj⩾2(cj−1)⩾∑j=110(cj−1)=T−10.所以 R+C≥2T−20 ，因为 T≥25 ，所以 R+C−T⩾2T−20−T=T−20>0 ．所以必存在某个 k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在 1
