湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高一上学期1月分班学科考试数学Word版含解析.docx

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涟源市2023-2024年度高一上学期分班选科考试数学试题吋间：120分钟；满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由交集的概念求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选：A.2.若，且为第一象限角，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】因为，且为第一象限角，所以，.故选：C.3.函数的零点所在的区间为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.故选：A.4.若，则的最小值为A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【详解】，当且仅当时取等号，因此最小值为2，选B.【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.5.已知命题，，则命题的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.故命题的否定为：，.故选：B.6.下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项分析即得.【详解】对于A，函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，函数定义域为R，又，所以函数为偶函数，不符合题意；对于C，函数在为单调递减函数，不符合题意；对于D，函数，由，所以函数为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数在区间上为单调递增函数，符合题意.故选：D.7.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系.【详解】解：由题意，，在中，函数单调递增，且，∴，在中，函数单调递增，且当时，，∴，∴，故选：A.8.甲、乙分别解关于x的不等式．甲抄错了常数b，得到解集为；乙抄错了常数 c，得到解集为．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据韦达定理求得参数b、c，解不等式即可.【详解】由韦达定理得，即，故不等式为，解集为.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数，其中，则下列关系中恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式性质可判断A，C；举反例判断B；利用作差法判断D.【详解】对于A，由于，故两边同乘以b，即，A正确；对于B，当时，不成立，B错误；对于C，由于，故，C正确；对于D，因为，则，故，故，D正确故选：ACD10.下列说法正确的是（）A.函数的图像恒过定点B.“”是“”的充分不必要条件C.函数的最小正周期为D.函数的最小值为 【答案】ABC【解析】【分析】对于A，根据指数型函数相关性质直接计算；对于B，根据充分不必要条件的相关概念直接判断；对于C，根据三角函数周期性直接判断；对于D，根据基本不等式，结合取等条件进行判断即可.【详解】对于A，令，得，此时，该函数图像恒过定点，故A正确；对于B，“”是“”的充分不必要条件显然正确，故B正确；对于C，函数最小正周期为显然正确，故C正确；对于D，函数，当且仅当时取等，此时，无实数解，故取不到最小值2，即函数的最小值不为2，故D错误.故选：ABC11.若，，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由与的关系，结合角的范围，可求得，即可逐个判断.【详解】，∵，则，∴.对C，，C对；对A，，，A对； 对B，，B错；对D，，D对.故选：ACD.12.已知函数则以下说法正确的是（）A.若，则是上的减函数B.若，则有最小值C.若，则的值域为D.若，则存在，使得【答案】ABC【解析】【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1,故B正确；对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；对于D，若，当时，；当时，；当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.故选：ABC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13._____.【答案】3【解析】【分析】利用对数的运算性质即可计算.【详解】.故答案为：3.14.已知，则______________.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式凑项法得的解析式，从而可求的值.【详解】因为，所以，则.故答案为：.15.已知扇形的圆心角为,弧长为,则该扇形的面积为__________.【答案】##【解析】【分析】根据圆心角和弧长求得半径,根据弧长和半径利用扇形面积公式即可求得结果.【详解】解:记扇形的半径为,因为圆心角,弧长,所以,即,解得,所以扇形的面积.故答案为:16.某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为______元． 【答案】1440【解析】【分析】设长为,则,求出,再结合各个区域的造价求得,利用基本不等式可得最值.【详解】设长为,则,即,所以.当且仅当,即时,等号成立,所以当时,取最小值为1440.故答案：1440.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）求函数的定义域. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂运算和对数的运算性质即可求解；（2）结合指数函数的单调性即可求出的定义域.【小问1详解】.【小问2详解】由知，函数有意义的条件为，易知指数函数在R上增函数，所以，解得，于是，即.故函数的定义域为.18.已知．（1）求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式得到求解；．（2）由，得到，再由求解.【小问1详解】 解：由诱导公式得，所以．【小问2详解】由（1）得，又，即，所以．19.已知函数，其中且.（1）判断的奇偶性；（2）若，解关于x的不等式.【答案】（1）奇函数（2）【解析】【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后检验与的关系即可判断；（2）结合对数函数的单调性即可求解．【小问1详解】因为的定义域关于原点对称，因为，所以为奇函数；【小问2详解】当时，由可得，所以，故，故不等式的解集为．20.已知函数. （1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为；（2）；的单调递减区间为.【解析】【分析】(1)利用降幂公式、诱导公式及逆用正弦二倍角公式将函数化为一个角的正弦函数，再利用周期公式，即可求出的最小正周期；(2)先求出内层函数的值域，再结合正弦函数的图象和性质，即可求出结果.【详解】(1).所以的最小正周期为.(2)因为，所以，所以当，即时，函数取得最小值.由，得，所以函数单调递减区间为.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据式子结构，将函数化为的形式.21.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？【答案】（1）该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元；（2）该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据二次函数的性质，即可得出答案；（2），然后用基本不等式即可得出该式的最值.【小问1详解】该单位每月的月处理成本：，因，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而得当时，函数取得最小值，即.所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.【小问2详解】由题意可知：，每吨二氧化碳的平均处理成本为：当且仅当，即时，等号成立.所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．22.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求值；（2）求在上的解析式；（3）若函数有零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）由求得.（2）根据的奇偶性求得的解析式.（3）由分离常数 ，利用构造函数法，结合函数的单调性以及指数函数、二次函数的性质求得的取值范围.【小问1详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以.【小问2详解】由（1）得，当时，，所以，所以【小问3详解】函数有零点等价于方程有根，分离参数得，原问题等价于与的图象有公共点，所以求k的范围，即求函数的值域，记，即，①当时，显然在上单调递减，所以，所以时，，②当时，令，则，记，，因为对称轴，所以在上单调递增，所以，即，所以时，，综上所述，的值域为，所以当时，函数有零点．