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2023-2024学年度高二第一学期期末质量监测数学试卷本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟，注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自已的准考证号､姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题共60分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1已知直线：，：，若，则实数（）A.－2B.－1C.0D.12.若平面平面，直线，直线，那么的位置关系是（）A.无公共点B.平行C.既不平行也不相交D.相交3.若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（）A.2B.3C.6D.74.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（）
A.1B.C.D.5.抛物线的焦点为F，且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则（）A2B.1C.D.6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况种数为（）A.54B.48C.42D.367.若是双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则（）A.B.C.D.8.已知，直线上存在点P，且点P关于直线对称点满足，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，则10.现有带有编号1、2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（）
A.全部投入4个不同的盒子里，共有种放法B.全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法11.经过抛物线的焦点的直线交于两点，为坐标原点，设，的最小值是4，则下列说法正确的是（）AB.C.若点是线段的中点，则直线的方程为D.若，则直线的倾斜角为或12.如图甲，在矩形中，为的中点，将沿直线翻折至的位置，为的中点，如图乙所示，则（）A.翻折过程中，四棱锥不存在外接球B.翻折过程中，存在某个位置的，使得C.当二面角为时，点到平面的距离为D.当四棱锥体积最大时，以为直径的球面被平面截得交线长为第II卷（非选择题，共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.若，则m=______.14.已知直线与圆交于两点，若，则的值为__________.
15.如图，在正方体中，，为的中点，记平面与平面的交线为，则直线与直线所成角的余弦值为_____．16.已知双曲线的左右焦点分别为，过点作圆的切线，交双曲线的右支于点，若，则该双曲线的离心率为__________.四､解答题（本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和分别为和，且.（1）求正整数的值；（2）求其展开式中所有的有理项.18.如图所示，某中心接到其正西､正东､正北方向三个观测点的报告：两个观测点同时听到了一声巨响，观测点听到的时间比观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为米/秒，各观测点到该中心的距离都是米，设发出巨响的位置为点，且均在同一平面内.请你确定该巨响发生的点的位置.19.如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，.
（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.已知拋物线的焦点为为抛物线上一点，.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作互相垂直的两条直线交抛物线于四点，求四边形的面积最小值21.如图，三棱台中，平面平面，，的面积为，且与底面所成角为.（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22.在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于两点.线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点且不垂直于轴的直线与轨迹交两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点.
试卷类型：A2023-2024学年度第一学期期末质量监测高二数学2024.01本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟，注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自已的准考证号､姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题共60分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知直线：，：，若，则实数（）A.－2B.－1C.0D.1【答案】D【解析】【分析】两直线平行，则斜率相等求解.【详解】已知直线：，：，因为，所以故选：D【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.2.若平面平面，直线，直线，那么的位置关系是（）A.无公共点B.平行C.既不平行也不相交D.相交【答案】A【解析】
【分析】由两线的位置关系的定义判断即可【详解】由题，直线a，b分别含于两个平行的平面，可能平行，可能异面，但不可能相交.故选：A3.若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（）A.2B.3C.6D.7【答案】B【解析】【分析】先求出椭圆的焦点，再由两曲线的焦点重合，列方程可求出的值.【详解】因为椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点为，故，解得.故选：B.4.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】连接，由，即可求出答案.【详解】连接如下图：
由于是的中点，.根据题意知..故选：C.5.抛物线的焦点为F，且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则（）A.2B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题设可得，再由点在椭圆上，代入求参数即可.【详解】由题设，且在第一象限，轴，则，又在椭圆上，故，而，故.故选：C6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5
人的名次排列情况种数为（）A.54B.48C.42D.36【答案】C【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论：乙是冠军，乙不是冠军，再安排其他人，由加法计数原理可得答案.【详解】由题意，第一种情况：乙是冠军，则甲在第二位，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况；第二种情况：先从丙、丁、戊中选1人为冠军，再排甲，乙两人，再把甲和乙捆绑与其他人排列，共有种；综上可得共有种不同的情况.故选：C.7.若是双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，探求四边形的形状，结合双曲线的定义及勾股定理求出，再求出作答.【详解】依题意，点与，与都关于原点O对称，且，因此四边形是矩形，如图，由双曲线：得：，，
于是，显然四边形的外接圆半径为，因此，所以.故答案为：8.已知，直线上存在点P，且点P关于直线的对称点满足，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，则，由两点间的距离公式可得的一元二次方程，由解不等式即可.详解】设，则，由，得，由两点间的距离公式可得：，整理可得，由题意，得，解得或，即实数k的取值范围是.故选：A.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）
A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AB【解析】【分析】利用线面平行的性质及线面垂直的性质可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；利用线面平行的性质可判断C选项；利用面面的位置关系判断D选项.【详解】对于A，因为，过直线作平面，使得，因为，，，则，因为，，则，故，正确；对于B，若，，则，又，则，正确；对于C，若，则或与相交或与异面，错误；对于D，若，则或与相交，错误.故选：AB10.现有带有编号1、2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（）A.全部投入4个不同的盒子里，共有种放法B.全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用分步乘法计数原理计算可判断A正确；对于B，先将5个球分为2
组，再全排，计算可判断B不正确；对于C，利用分步乘法计数原理计算可判断C正确；对于D，先将5个球分为4组，再全排，计算可判断D正确；【详解】对于A，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，共有种放法，故A正确；对于B，带有编号1、2、3、4、5的五个球全部投入2个不同的盒子里，第一步选2个盒子有种选法，第二步将5个球分为两组，若两组球个数之比为1：4有种分法；若两组球个数之比为2：3有种分法，第三步将两组排给两个盒子有种排法，因此共有，故B不正确；对于C，带有编号1、2、3、4、5的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），第一步选4个球有种选法，第二步选一个盒子有种选法，共有种放法，故C正确；对于D，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，第一步将5球分成2：1：1：1的四组共有种分法，第二步分给四个盒子有种排法，故共有种放法，故D正确；故选：ACD.11.经过抛物线的焦点的直线交于两点，为坐标原点，设，的最小值是4，则下列说法正确的是（）AB.C.若点是线段的中点，则直线的方程为D.若，则直线的倾斜角为或【答案】BC【解析】【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据求得，由此对选项逐一分析，从而确定正确答案.【详解】，由题意可知直线的斜率存在且不为，可设直线的方程为，
联立，得，，，，所以，当时等号成立，所以，所以抛物线方程为，所以，所以，A选项错误；，所以，，所以，B正确；因为点是线段的中点，所以，即，所以直线的方程为，C正确；，所以，即，所以，因为，所以，即，解得（舍去），又，故，所以，所以直线的斜率为，直线的倾斜角为，D错误.故选：BC【点睛】求解直线和抛物线相交所得弦长，如果直线过焦点，此时直线的斜率存在且不为
，故可设直线的方程为，这样的设法可以避免讨论直线的斜率是否存在，减少一定的运算量.12.如图甲，在矩形中，为的中点，将沿直线翻折至的位置，为的中点，如图乙所示，则（）A.翻折过程中，四棱锥不存在外接球B.翻折过程中，存在某个位置的，使得C.当二面角为时，点到平面的距离为D.当四棱锥体积最大时，以为直径的球面被平面截得交线长为【答案】AC【解析】【分析】A项，通过证明四边形不存在外接圆即可得出结论；B项，通过证明，即可得出结论；C项，求出到平面的距离，利用等体积法即可求出点到平面的距离；D项，求出点A到平面的距离,进而得出以为直径的球的半径和球心到平面的距离，即可得到球面与被平面截得交线为圆的半径，进而得出交线长.【详解】由题意，对于A，由已知,直角三角形存在以为直径的唯一外接圆,，∴点不在该圆上,所以四边形不存在外接圆，∴四棱锥不存在外接球,故A正确;对于B,由已知,,,∴，∴，
假设在翻折过程中,存在位置,使得,则平面,平面,平面,又平面,∴，在翻折至的位置的过程中,,显然不成立,故假设错误,翻折过程中,不存在任何位置的,使得,故B错误;对于C,取中点,由已知,,,是二面角的平面角,当二面角为时,二面角为,即,又,到平面的距离为设点A到平面的距离为,则,,
,即点A到平面的距离为,点为中点,点到平面的距离是点A到平面距离的,点到平面的距离为,故C正确;对于D,四棱锥底面梯形的面积为定值,当四棱锥的体积最大时,平面平面,平面平面平面,由B选项有平面,平面,,又平面点A到平面的距离,点为中点,以为直径的球的半径,球心到平面的距离,易知,球面与被平面截得交线为圆,其半径,该交线周长为,故D不正确.故选：AC.【点睛】关键点睛：1.根据垂直关系分析可知是二面角的平面角；2.根据球的性质分析可知球心到平面的距离.第II卷（非选择题，共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.若，则m=______.【答案】
【解析】【分析】直接利用组合数的性质得到x+3x-6=18或x=3x-6,解之即得x的值.【详解】因为，所以x+3x-6=18或x=3x-6，所以x=3或6.故答案为3或6【点睛】（1）本题主要考查组合数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)如果.14.已知直线与圆交于两点，若，则的值为__________.【答案】1【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，由垂径定理得到方程，求出，验证后得到答案.【详解】变形为，故，解得，故圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，则，由垂径定理得，解得，满足要求.故答案为：115.如图，在正方体中，，为的中点，记平面与平面的交线为，则直线与直线所成角的余弦值为_____．
【答案】##【解析】【分析】根据题意可利用空间向量求解直线与直线之间夹角，从而求解.【详解】设，连接,如下图所示，则直线即为直线l．因为平面平行于，且平面平面，平面平面，故，由，为的中点，得：．以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设：，则得：，，，，，，所以得：，故直线l与直线所成角的余弦值为.故答案为：.16.已知双曲线的左右焦点分别为，过点作圆的切线，交双曲线的右支于点，若，则该双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】
【分析】设切点为A，连接，作作，垂足为B，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，即可求解．【详解】如图，作于点A，于点B．∵与圆相切，，∴，，则，．又点M在双曲线上，∴，整理得，即，得，由解得，∴双曲线的离心率为．故答案为：．四､解答题（本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和分别为和，且.（1）求正整数的值；（2）求其展开式中所有的有理项.【答案】17.418.答案见解析【解析】【分析】（1）先利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值；（2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．【小问1详解】因为，所以，当为奇数时，此方程无解，
当为偶数时，方程可化为，解得；【小问2详解】由通项公式，当为整数时，是有理项，则，所以有理项为．18.如图所示，某中心接到其正西､正东､正北方向三个观测点的报告：两个观测点同时听到了一声巨响，观测点听到的时间比观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为米/秒，各观测点到该中心的距离都是米，设发出巨响的位置为点，且均在同一平面内.请你确定该巨响发生的点的位置.【答案】答案见解析【解析】【分析】以接报中心为原点，正东、正北方向为x轴、轴正向，建立直角坐标系；写出A、、点的坐标，设为巨响生成点，由双曲线定义知点在以A、为焦点的双曲线上，依题意求出双曲线方程，从而确定该巨响发生的位置．【详解】如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．则，，，设为巨响为生点，由A、同时听到巨响声，得，故在垂直平分线上，的方程为，因点比A点晚听到爆炸声，
故，由双曲线定义知点在以A、为焦点的双曲线上，依题意得，，，故双曲线方程为，将代入上式，得，，，，即故.故巨响发生在接报中心的西偏北距中心米处．19.如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，.（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面平行判断定理证平面BFC平面ADE，再证∥平面即可；（2）建立空间直角坐标系如图，由向量法即可求【小问1详解】证明：四边形为矩形，∴，又，平面，平面ADE，故平面ADE，平面ADE，又平面BFC，∴平面BFC平面ADE，∵平面BFC，∴∥平面；【小问2详解】
建立空间直角坐标系如图，则，设平面CDF的法向量为，则，取得，平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为20.已知拋物线的焦点为为抛物线上一点，.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作互相垂直的两条直线交抛物线于四点，求四边形的面积最小值【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义直接求抛物线的方程；（2）过焦点作两条相互垂直的直线，设，，联立直线与抛物线方程组成方程组，利用抛物线焦半径公式可得弦长，进而可得推出四边形的面积的表达式，利用基本不等式求四边形面积的最小值．【小问1详解】由，可得，又在抛物线上，所以，
联立解得，故抛物线方程为【小问2详解】由（1）知：设，，由得：，，设所以，，同理：，四边形的面积：，（当且仅当即：时等号成立）四边形的面积的最小值为32．21.如图，三棱台中，平面平面，，的面积为，且与底面所成角为.
（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到A到平面的距离即为的长，证明线面垂直，进而得到面面垂直，进而得到线面垂直，故为与底面所成角，根据与底面所成角为，得到为等边三角形，从而得到的长，得到答案；（2）在（1）的基础上得到，根据的面积为1，求出，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求出其正弦值.小问1详解】因为，作交于，因为平面平面，而平面平面，平面，所以平面，则A到平面的距离即为的长，而平面，故，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，作交于，
因为平面，平面平面，所以平面，故即为与底面所成角，因为与底面所成角为，所以，因为，所以为等边三角形，故为中点，且，故A到平面的距离为；【小问2详解】由（1）可知平面，因为平面，所以，因为的面积为，所以，又，所以，取中点为，连接，则平行，因为平面，所以平面，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，设平面的法向量，
则，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.22.在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于两点.线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点且不垂直于轴的直线与轨迹交两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点.【答案】（1）（2）存在，（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据圆的位置关系可得圆心距与半径的关系，即可结合椭圆的定义判断轨迹符合椭圆定义，即可利用椭圆的性质求解．（2）联立直线与椭圆方程得，由已知条件推导出直线的方程为：，由此能求出线段上存在点，使得，其中．（3）联立直线方程与椭圆方程得
，得韦达定理，进而根据点斜式求解直线的方程为，代入化简运算即可求解直线过定点．【小问1详解】设动圆的半径为,由于的圆心半径分别为为，且与圆的圆心和半径分别为，由题意可得,故,因此点轨迹满足椭圆方程，且以为焦点，以4为长轴长的椭圆，故，故轨迹的方程为【小问2详解】设直线的方程为：，，代入，得：，恒成立．设,，,，线段的中点为,，则，，由，得：，直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：，令得：点的横坐标，
，，．线段上存在点，使得，其中．【小问3详解】设直线的方程为：，，代入，得：，过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，由，化简得，解得：，设,，,，,，则，，则直线的方程为，令得：．直线过定点．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为,则直线过定点;若直线方程为(为定值),则直线过定点
