重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高三下学期2月月度质量检测 数学Word版.docx

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重庆市2023-2024学年高三（下）2月月度质量检测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（    ）A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样2．下列函数既是奇函数，又在上单调递增的函数是（    ）A．B．C．D．3．已知是公比为2的等比数列，若，则（    ）A．100B．80C．50D．404．若，则（    ）A．B．C．D．5．已知圆，直线与圆交于，两点.若△ABC为直角三角形，则（    ）A．B．C．D．6．已知数列满足，，若，则正整数k的值是（    ） A．8B．12C．16D．207．已知椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上，点在直线上，若，，则椭圆的离心率为（    ）A．B．C．D．8．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ）A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立C．C与D互斥D．A与C相互独立二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知，若，且是的必要条件，则可能为（    ）A．的最小正周期为B．是图象的一条对称轴C．在上单调递增D．在上没有零点10．设奇函数与偶函数的定义域均为，且在区间上都是单调增函数，则（    ）A．不具有奇偶性，且在区间上是单调增函数B．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不能确定C．是奇函数，且在区间上是单调增函数D．是偶函数，且在区间上的单调性不能确定11．对于任意两个正数，，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（    ）A．B． C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若命题为真命题，则m的取值范围为.13．在多面体PABCQ中，，且QA，QB，QC两两垂直，则该多面体的外接球半径为，内切球半径为．14．已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；(2)若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：.16．（15分）如图，是半球的直径，是底面半圆弧AB上的两个三等分点，是半球面上一点，且． (1)证明：平面：(2)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．17．（15分）设，函数，.(1)讨论函数的零点个数； (2)若函数有两个零点，，试证明：.18．（17分）已知抛物线：，直线，且点在抛物线上．(1)若点在直线上，且四点构成菱形，求直线的方程；(2)若点为抛物线和直线的交点（位于轴下方），点在直线上，且四点构成矩形，求直线的斜率．19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论. ★秘密·2024年2月16日17：00前重庆市2023-2024学年（下）2月月度质量检测高三数学答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C2．D3．B4．A5．A6．B7．D8．D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．AC10．ABD11．ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（1）由题意得，的可能取值为，在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为，，依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为，，易知，的分布列为：123的数学期望.（2）证明：当时，不难知道， ，，由（1）可知，又，，.即.16．（1）连接，因为是底面半圆弧AB上的两个三等分点，所以有，又因为，所以△MON,△NOB都为正三角形，所以，四边形是菱形，记与的交点为，为和的中点，因为，所以三角形为正三角形，所以，所以，因为是半球面上一点，是半球的直径，所以，因为，平面，所以平面．（2）因为点在底面圆内的射影恰在上，由（1）知为的中点，△OPN为正三角形，所以，所以底面，因为四边形是菱形，所以，即两两互相垂直，以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设直线与平面的所成角为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．17．（1），令，即，当时，令，所以，则即，所以当或时，即或时，无解；当时，即时，仅有一解；当即时，有两解，综上，或时，无零点；时，有一个零点；时，有两个零点.（2）若有两个零点，，令，，则，为两解，则，则，则，由可得，，则，所以，所以，由可得，所以，则， 由在递减，可得，所以，所以令，则要证成立，即证：；即证：，因为显然成立，故原式成立.18．（1）由题意知，设直线．联立得，则，，则的中点在直线上，代入可解得，，满足直线与抛物线有两个交点，所以直线的方程为，即．  （2）当直线的斜率为或不存在时，均不满足题意．由得或（舍去），故．方法一：当直线的斜率存在且不为时，设直线．联立得，所以．所以．同理得．由的中点在直线上， 得，即．令，则，解得或．当时，直线的斜率；当时，直线的斜率不存在．所以直线的斜率为．方法二：设，线段的中点，则．由，得，即．所以．又，故可转化为，即．解得或．所以直线的斜率．当时，斜率不存在；当时，斜率．所以直线的斜率为．  19．（1）. （2）依题意，，不等式，函数在上单调递增，，令，显然函数在上单调递减，在上单调递增，，又，于是，，因此，，显然函数在上单调递减，当时，，从而，所以实数的取值范围是.（3），.依题意，，，当时，，，即，于是，而，因此，当时，，则，，即，而，因此，于是，，所以.