四川省资阳市 2023-2024学年高一上学期1月阶段测试数学试题 Word版含解析.docx

《四川省资阳市 2023-2024学年高一上学期1月阶段测试数学试题 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

四川省资阳市安岳中学2023—2024学年高一第一学期1月阶段测试数学试卷时间：120分钟总分：150分一、单项选择题．本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（）A.iB.C.D.1【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法，可得，再利用共轭复数的概念即可得解.【详解】，则，故选：C.2.设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理列不等式来求得的取值范围.【详解】由于是钝角三角形的三边长，所以，且，所以.设最长边对的角为，则，解得.故选：B3.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式 ，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】由，得时，，即；时，；，.故选：A.4.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，再由二倍角公式求出，，最后根据计算可得.【详解】因为，所以，又，，所以，，所以，，所以.故选：D 5.在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（）A.3B.1C.2D.4【答案】D【解析】【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】因为，所以，因为，所以，因为三点共线，所以，，所以，当且仅当，即、时取等号，所以的最小值是.故选：D6.已知函数,若关于x的方程在上有且只有一个解,则为（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简得,则在上有且只有一个解转化为在上有且只有一个解,再利用整体法求解即可.【详解】,,即在上有且只有一个解,令,因为,所以,即在上有且只有一个解,所以,解得又,所以.故选:A.7.设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】先将化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较、、三个数的大小关系，再由函数在区间上的单调性并结合偶函数的性质可得出、、的大小关系.【详解】，，即，由于函数是偶函数，在区间上单调递增，所以在上单调递减，由于函数为偶函数，则，即，故选：A.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为上的单调性再比较.8.已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是（）A.10B.8C.7D.6【答案】D【解析】【分析】设，求得，得到，再设，得到函数为单调递增函数，且为是奇函数，即可求解.【详解】由题意，设一次函数，因为，可得，解得，所以，故的图象关于对称，又设，可得函数为单调递增函数，且，即，所以是奇函数，则，则，， 所以即为的最大值与最小值之和6.故选：D.【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，对数运算性质，以及函数的单调性与奇偶性的综合应用，着重考查了推理与运算能力.二、多项选择题：本题共4道小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列运算中正确的是（）A.B.C.若，则D.【答案】BD【解析】【分析】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.【详解】解：对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；对于选项B，，故B正确；对于选项C，设，两边分别平方可得，因为，所以，故，故C不正确；对于选项D，，故D正确．故选：BD．10.已知向量，，，则下列说法正确的是（）A.与能作为平面的一组基底B.若，则C.在上的投影向量为D.若，则【答案】AC 【解析】【分析】选项A：因与不共线，故A正确；选项B：由垂直的坐标表示可得；选项C：由投影向量公式可得；选项D：由共线的坐标表示可得.【详解】选项A：因，所以与不共线，故与能作为平面的一组基底，A正确；选项B：，因得，得，故B错误；选项C：与的夹角为，则，方向上的单位向量为，故在上的投影向量为，故C正确；选项D：，因得，得，故D错误.故选：AC.11.关于函数，如下结论中正确的是（）．A.函数的周期是B.函数的值域是C.函数的图象关于直线对称D.函数上递增【答案】ACD【解析】【分析】根据周期定义判断A，结合周期性可求函数值域，判断B，利用对称性定义判断C，同样利用周期性判断D．【详解】A．∵， ∴，∴是周期为的周期函数，A正确，B．当时，，此时，，∴，又的周期是，∴时，值域是，B错；C．∵，∴函数的图象关于直线对称，C正确；D．由B知时，，当时，，单调递增，而是周期为的周期函数，因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的，因此仍然递增．D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查与三角函数有关的周期性、对称性、单调性、值域，解题关键是是函数的周期性，根据周期的定义证明周期性，然后可以在一个周期内研究函数的性质，再推广到整个定义域．12.已知是定义在R上的函数，同时满足以下条件：①为奇函数，为偶函数（，且）；②；③在上单调递减．下列叙述正确的是（）A.函数有5个零点B.函数的最大值为20C.成立D.若﹐则【答案】BCD【解析】 【分析】根据①得出关于点对称，关于直线对称，得出的周期为4，根据得出，，.结合③画出函数的草图．结合函数的图象及正余弦函数的性质逐一判断各选项.【详解】因为①为奇函数，所以，且.即，所以函数关于点对称，即关于点对称.因为为偶函数，所以，所以关于直线对称，即关于直线对称.由关于点对称，且关于直线对称，则函数的周期为4.由，关于点对称，所以，又关于直线对称，，.又②，所以，即，即，③在上单调递减．画出函数的草图．对于A，函数的零点个数即为与的交点个数，如图，易知有4个交点，即函数有4个零点,故A错误；对于B，因为，所以当时，函数的最大值为20，故B正确.对于C，易知函数与是偶函数，，，所以函数与的周期；又，，所以函数与的对称轴为； 当时，，得，，，，又因为，所以，因为在上单调递增，所以，即，根据周期性，对称性可知.又在上单调递增，，故C正确；对于D，若，，因为在单调递减，在单调递增，又，，所以，，因为在单调递减，在单调递增，所以，所以，则成立，故D正确.故选：BCD.【点睛】函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的方法点睛：(1)函数的零点:零点存在性定理.通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内.(2)方程的根:方程的等价变形.当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数(3)两函数的交点:数形结合. 前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现.通过图像可清楚的数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围.三、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分．13.已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，得到底面面积为，周长为，高为，根据题意，列出方程组，求得的值，进而求得圆锥的表面积.【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥底面圆面积为，周长为，高为，可得，解得，所以该圆锥的表面积为．故答案为：.14.已知函数，若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】首先画出函数的图象，数形结合分析左端点的取值范围.【详解】作出函数的大致图象，令，，得，，，得，若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为. 故答案为：15.设定义在上的函数，则不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】由奇偶性定义判断奇偶性，根据指对数函数性质判断在上单调性，利用奇偶性、单调性求不等式的解集.【详解】由，又函数定义域为，故为奇函数，在上易知单调递增，且，又在上连续，故上递增，所以，则，不等式解集为.故答案为：16.平面向量满足，则的最小值为_________．【答案】【解析】 【分析】设，利用平面向量的几何意义及平面向量等和线定理进行求解.【详解】解析：几何意义+等和线由题记，则由，得，且．作图，如右图所示：为正三角形，，由，得C在直线上，又∵，∴，即点D在以点E为圆心，为半径的圆上，∴．故答案为：．四、解答题：本题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知．（1）求值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】 【分析】（1）由两角和的公式展开后解方程得；（2）用诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系化简变形为关于的式子，代入（1）的结论可得．【详解】解：（1），解得；（2）．【点睛】本题考查三角函数的求值，求值时一般先化简再求值，三角函数式的化简要遵循“三看”原：(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．18.在中，角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；（2）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案.【小问1详解】由题意知中，，故，即, 即,所以，而，故，即，又，故；【小问2详解】由于点是上的点，平分，且，则，由，得，即，则，当且仅当时取等号，故，当且仅当时取等号，所以，即面积的最小值为.19.在圆内接四边形中，已知，，平分．（1）若，求的长度；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同弧的圆周角相等，结合已知条件有，在和中，由余弦定理列方程组求的长度； （2）设，在和中，由余弦定理得，，在和中，由余弦定理得，，代入求值即可.【小问1详解】平分，有，又，，所以，有，由，，在和中，由余弦定理得，，有，解得，，则有.【小问2详解】由（1）知，有，设，在和中，由余弦定理得，，有，解得，又，，，，在和中，由余弦定理得，，即，得，即， .20.某公司竞标得到一块地，如图1，该地两面临湖（BC，CD面临湖），，，．（1）求BC，CD的长；（2）该公司重新设计临湖面，如图2，是以BD为直径的半圆，P是上一点，BP，PD是一条折线观光道，已知观光道每米造价300元，若该公司预计用88000元建观光道，问预算资金是否充足?【答案】（1）（2）充足【解析】【分析】（1）由题意，，结合正弦定理得，在中，由余弦定理可得.（2）设，，在中，，，由三角函数的性质求出的最大值，即可求出该观光道所用资金的最大值，即可判断资金是否充足.【小问1详解】因为，，，则，所以在中，，，，在中，，由正弦定理可得：，所以，所以， 在中，由余弦定理可得：，故.【小问2详解】是以BD为直径的半圆，P是上一点，所以，设，，在中，，所以，因为，所以，所以，所以，因为观光道每米造价300元，所以该观光道所用资金为，而，所以该公司预计用88000元建观光道，预算资金充足.21.已知定义在R上的函数满足且，．（1）求的解析式；（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围；（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】 【分析】（1）根据，代入计算可得；（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.【小问1详解】由题意知，，即，所以，故.【小问2详解】由（1）知，，所以在R上单调递增，所以不等式恒成立等价于，即恒成立.设，则，，当且仅当，即时取等号，所以，故实数a的取值范围是.【小问3详解】因为对任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因为在上单调递增，所以当时，，又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，，解得，所以，综上可知，实数m的取值范围是.22.已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）求解析式与单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.【答案】（1），递减区间为，（2）【解析】【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.【小问1详解】由题意，图象的相邻两对称轴间的距离为，的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，， 又，，故，令，得函数的递减区间为，【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，又，则或，即或令，当时，，画出的图象如图所示：有两个根,关于对称，即,有,在上有两个不同的根，,； 又的根为，所以方程在内所有根的和为.