安徽省淮北市树人高级中学2023-2024学年高一上学期第二次阶段考试数学Word版含解析.docx

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2023-2024学年度高一上第二次阶段考数学试卷一、单选题1.集合的非空真子集共有()个A.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】【分析】先化简A合,再求解即可.【详解】,所以所求非空真子集共有个.故选:A.2.当时,若,且,则称为的一个“孤立元素”,由的所有孤立元素组成的集合称为的“孤星集”,若集合的孤星集为,集合的孤星集为,则(  )A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据“孤星集”定义,求集合和,即可求交集.【详解】由题知,由条件及孤星集的定义知,集合中的元素,,,所以0不是“孤立元素”,,,,所以1不是“孤立元素”,,,,所以3是“孤立元素”,则,,,,所以0是“孤立元素”,,,,所以3不是“孤立元素”,,,,所以4不是“孤立元素”,则,则. 故选:B3.已知当时,不等式:恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由得,由基本不等式得,故.【详解】当时,由得,因,故,当且仅当即时等号成立,因当时,恒成立,得,故选:C4.若定义在R的奇函数,若时,则满足的x的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出时,、和的解,再由奇函数性质得出时,、和的解,然后分类讨论解不等式可得.【详解】当时,,时,,时,,,又是奇函数,所以时,,时,,且,不等式或或,所以或,综上.故选:D.5.已知是定义在上的单调函数,则a的取值范围是() A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由解析式及的单调性,结合一次函数性质列不等式组求参数范围.【详解】由为递减函数,且在上的单调函数,所以单调递减,则.故选:D6.函数的最大值为()A.8B.C.2D.4【答案】A【解析】【分析】根据题意,由换元法,结合二次函数的最值,即可得到结果.【详解】设,则,即,所以,因为,所以当时,函数取得最大值为.故选:A7.已知函数的定义域为R,为偶函数,且对任意都有,若,则不等式的解为()AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由知,在上单调递增,结合偶函数,知其在在上单调递减即可解.【详解】对,满足,等价于函数在上单调递增, 又因为函数关于直线对称,所以函数在上单调递减.则可化为,解得.故选:B.8.定义在R上函数满足以下条件:①函数图象关于轴对称,②对任意,当时都有,则,,的大小关系为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件判断函数单调性,利用单调性比较函数值大小.【详解】∵函数图象关于对称,且对任意,当时都有,∴在上单调递减,在单调递增,,∵,∴,∴.故选:B.二、多选题9.下列函数中,值域为的是()A.,B. C.,D.【答案】AC【解析】【分析】根据基本初等函数函数的性质判断A、B、C,利用基本不等式计算D.【详解】对于A:函数,在定义域上单调递增,又,,所以,故A正确;对于B:由,所以,即,故B错误;对于C:函数,在定义域上单调递增,又,,所以,故C正确;对于D:因为,所以,当且仅当,即时取等号,所以,故D错误;故选:AC10.下列说法正确的是()A.若幂函数过点,则B.函数表示幂函数C.若表示递增的幂函数,则D.幂函数的图像都过点,【答案】AC【解析】【分析】利用幂函数的定义、性质,逐项分析判断作答.【详解】对于A,设,则,即,解得,,A正确;对于B,函数不是幂函数,B错误;对于C,是幂函数,则,解得或,当时,在上单调递减,不符合题意, 当时,是R上的增函数,符合题意,因此,C正确;对于D,幂函数不过点,D错误.故选:AC11.下列说法正确的是()A.任何集合都是它自身的真子集B.集合共有4个子集C.集合D.集合【答案】BC【解析】【分析】A选项,举出反例;B选项,根据元素个数求出子集个数;C选项,两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数,C正确;D选项,举出,但,D错误.【详解】对于A,空集不是它自身真子集,故A错误;对于B,因为集合中有2个元素,所以有个子集,故B正确;对于C,因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数,所以两个集合相等,故C正确;对于D,因为,当时,,所以,但,故两个集合不相等,故D错误.故选:BC12.已知函数,以下结论正确的是()A.为奇函数B.对任意的都有C.的值域是 D.对任意的都有【答案】AB【解析】【分析】根据奇函数定义确定A正确,变换计算函数单调性得到B正确,取,无解得到C错误,举反例得到D错误,得到答案.【详解】对选项A:,,则,函数为奇函数,正确;对选项B:当时,,函数单调递增,又函数为奇函数,故函数在上单调递增,即,正确;对选项C:取,得到,当时,,方程无解,当时,,不满足,不正确;对选项D:取,,则,,故,错误;故选:AB.第Ⅱ卷(非选择题)请点击修改第Ⅱ卷的文字说明三、填空题13.设函数,则___________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的知识求得正确答案. 【详解】,.故答案为:14.________.【答案】【解析】【分析】根据指数幂的性质进行计算.【详解】原式故答案为:15.若,且,则的最小值为______.【答案】8【解析】【分析】由可得,,再与相乘构建积定式,继而可用基本不等式求最小值.【详解】可得,,(当且仅当时取等号).故答案为:8.16.已知实数、满足方程,当时,则的取值范围是______.【答案】 【解析】【分析】由题述条件可将所求化为关于的函数,结合即可求解.【详解】因为,所以,所以,不妨设,所以,因为,所以,所以的值域为,即的取值范围是.故答案为:.四、解答题17.已知命题:“,都有不等式成立”是真命题.(1)求实数的取值集合;(2)设不等式的解集为,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依题意,在时恒成立,求在时的最大值即可;(2)分类讨论解不等式,由题意,是的真子集,列不等式求实数的取值范围.【小问1详解】由题意得在时恒成立,令,对称轴,结合图像可知,取得最大值, 则有,得,即.【小问2详解】不等式,①当,即时,解集,若是的充分不必要条件,则是的真子集,有,此时;②当,即时,解集,若是的充分不必要条件,则是的真子集,有,此时,综上①②可得实数的取值范围为.18.已知二次函数,恒有.(1)求函数的解析式;(2)设,若函数在区间上的最大值为3,求实数的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据条件得出关于的方程,解出即可;(2)根据对称轴与区间中点关系分类讨论求解即可.【小问1详解】由,得,则,所以且,解得,又,则,故.【小问2详解】,对称轴,当,即时,时,,解得; 当,即时,,时,,不合题意;当,即时,时,,解得(舍),综上,.19.已知函数是定义在上的函数,恒成立,且.(1)确定函数的解析式并证明判断在上的单调性;(2)解不等式.【答案】(1),函数在区间上单调递增,证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据条件及奇函数的性质,求出,,即可求出的解析式,再利用定义即可证明在上的单调性;(2)利用函数在上的奇偶性和单调性,即可求出结果.【小问1详解】因为函数是定义在上的函数,且恒成立,所以,又,所以,得到,当,时,,,所以,,满足题意,故函数的解析式为,函数在区间上单调递增,证明如下,任取,且,, 因为,且,所以,,,又易知,,所以,即,所以,函数在区间上单调递增.【小问2详解】因为函数是定义在上奇函数,且在区间上单调递增,所以,由,得到,所以,即,解得,所以,原不等式的解集为.20.已知函数是定义在上的奇函数.(1)求实数的值;(2)若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据条件,利用奇函数的性质即可求出结果;(2)由(1)得到,再求的值域,即可求出结果.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数,则,得到,解得,经检验满足题意, 故实数的值为.【小问2详解】由(1)知,,当时,,又的对称轴为,所以当时,,当时,,又的对称轴为,所以当时,,所以,当时,,故不等式恒成立时,,所以实数的取值范围21.A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为,从A到B的火车票价格(部分)如下表所示:运行区间公布票价学生票上车站下车站一等座二等座二等座AB81(元)68(元)51(元)(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?(2)由于各种原因,二等座火车票只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的需买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?【答案】(1)10人、20人与180人;(2);(3)至少要花11233元,最多要花16980元.【解析】 【分析】(1)设出老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,列出方程组,求出结果;(2)分与两种情况进行求解;(3)在第二问基础上分别求出购买火车票的总费用,比较后得到至少要花11233元,最多要花16980元.【小问1详解】设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座火车票,依题意得:, 解得,则.答:参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.【小问2详解】由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,①当时,最经济的购票方案为:学生都买学生票共180张,名成年人买二等座火车票,名成年人买一等座火车票.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:,即.②当时,最经济的购票方案为:一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共张.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:,即.综上:【小问3详解】由(2)知,当时,,由此可见,当时,y的值最小,最小值为11233元,当时,y的值最大,最大值为11610元.当时,,由此可见,当时,y的值最小,最小值为11640元,当时,y的值最大,最大值为16980元. 所以按(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花11233元,最多要花16980元.22.定义在上的函数满足对任意的x,,都有,且当时,.(1)求证:函数是奇函数;(2)求证:在上是减函数;(3)若,对任意,恒成立,求实数t的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3).【解析】【分析】(1)利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.(2)根据已知条件,利用单调性的定义、作差法进行证明.(3)把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理,利用单调性、一次函数进行处理.【小问1详解】令,,得,所以.令,得,即,所以函数是奇函数.小问2详解】设,则,所以.因为,,,所以,即,所以.又,所以,所以,所以,即.所以在上是减函数.【小问3详解】由(2)知函数在上是减函数, 所以当时,函数的最大值为,所以对任意,恒成立等价于对任意恒成立,即对任意恒成立.设,是关于a的一次函数,,要使对任意恒成立,所以,即,解得或,

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