四川省泸县第四中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学（理）Word版含解析.docx

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泸县四中2023年春期高二第二学月考试数学（理工类）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回.3．考试时间：120分钟第I卷选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.电影《速度与激情》中超级跑车“莱肯”，最高时速可达396千米/小时，假设“莱肯”从静止开始做匀加速直线运动，路程(单位:米)与时间(单位:秒)的函数关系为，则在秒时刻的瞬时速度为（）米/秒.A.8B.40C.100D.110【答案】B【解析】【分析】根据导数的概念即得.【详解】因为，则，所以，即在秒时刻的瞬时速度为40米/秒.故选：B.2.复数的虚部是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】利用复数的除法运算求出后即可得出.【详解】，虚部是.故选：D. 3.若直线与直线平行，则的值是（）A.B.1C.1或D.【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行满足的关系即可求解.【详解】直线与直线平行，故，故选：B4.是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A.这天中有天空气质量为一级B.这天中日均值最高的是11月5日C.从日到日，日均值逐渐降低D.这天的日均值的中位数是【答案】D【解析】【分析】由折线图逐一判断各选项即可.【详解】由图易知：第3,8,9,10天空气质量为一级，故A正确，11月5日日均值为82，显然最大，故B正确，从日到日，日均值分别为：82,73,58,34,30，逐渐降到，故C正确，中位数是，所以D不正确，故选D.【点睛】本题考查了频数折线图，考查读图，识图，用图的能力，考查中位数的概念，属于基础题.5.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．6.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（）．A.1.00025B.1.00005C.1.0025D.10005【答案】A【解析】【分析】根据题意，设，求出切线，以直代曲计算即可.【详解】设，可得，，曲线在点处的切线对应的函数为，因为与之间的距离比较小，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，，故选：A7.已知x，y为实数，且满足3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为（）A.6B.C.11D.【答案】D【解析】【分析】根据x，y为实数，且满足3x2＋2y2≤6，设，得到2x＋y，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】因为x，y为实数，且满足3x2＋2y2≤6，所以设，所以2x＋y，所以当时，2x＋y取得最大值，最大值为.故选：D【点睛】本题主要考查椭圆的参数方程以及辅助角法和三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出余弦值即可.【详解】解：以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系，则，所以因为异面直线夹角的范围为，所以，异面直线与所成角的余弦值为故选：A 9.2020年我国实现全面建设成小康社会的目标之年，也是全面打赢脱贫攻坚战之年.某乡镇为了了解本镇脱贫攻坚情况，现派出甲、乙、丙3个调研组到、、、、等5个村去，每个村一个调研组，每个调研组至多去两个村，则甲调研组到村去的派法有（）A.48种B.42种C.36种D.30种【答案】D【解析】【分析】按甲所调查村的个数分类求解．【详解】甲只去1村，则方法为，甲去2个村调查，则方法数有，∴总方法数为．故选：D．【点睛】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件的过程方法，根据完成事件的方法选择分类计数原理和分步计数原理．10.设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且.若，则该椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】设左焦点为，连接，根据几何关系得出四边形为矩形，由椭圆定义以及直角三角形的边角关系得出，从而得到，最后由正弦函数的性质得出椭圆离心率的取值范围.【详解】设左焦点为，连接由平面几何知识可知，四边形为矩形根据椭圆的定义可得，设，则，故选：D【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率的范围，涉及了正弦函数性质的应用，属于中档题. 11.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先令，对求导，根据题中条件，判断函数单调性与奇偶性，作出的图像，结合图像，即可求出结果.【详解】令，则，因为当时，，所以，即在上单调递增；又为奇函数，所以，因此，故为偶函数，所以在上单调递减；因为，所以，故；作出简图如下：由图像可得，的解集为.故选D【点睛】本题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及导数的方法研究函数的单调性，属于常考题型.12.已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是 A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】曲线在两点处的切线都与轴垂直，说明函数有两个极值点，即有两个根，，令，有在为减函数，在上为增函数，当时，取极小值，则，选.【点睛】转化思想是四种数学思想之一，曲线上存在两点处的切线都与轴垂直，转化为函数有两个极值点，再转化为方程，在转化为与图象有两个交点，进而求出的范围.第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为的样本，若样本中高中生恰有30人，则的值为__________．【答案】50【解析】【分析】利用某一层的样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】由题意得：，解得：故答案为：【点睛】本题考查了简单随机抽样中的分层抽样，某一层的样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，属于容易题.14.若，，且，则实数的值是________【答案】【解析】【分析】根据空间向量垂直，则数量积为零，以及向量的线性运算，列式计算即可.【详解】因为，，故可得.因为， 故可得，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量的线性运算，数量积运算，以及向量垂直的坐标公式，属综合基础题.15.在的展开式中，项的系数是______．【答案】23【解析】【分析】写出的展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】的展开式通项为，且，所以，的展开式通项为，由，可得，因此，的展开式中，项的系数为.故答案为：.【点睛】方法点睛：两个二项式乘积的展开式中的特定项问题：（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；（2）找到构成展开式中特定项的组成部分；（3）分别求解在相乘、求和即可.16.已知函数，若有且仅有一个整数，使，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】 【详解】因，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数使得或”．因为，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，即函数在处取最大值，由于，因此由题设可知，解之得，应填答案．点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件“有且仅有一个整数，使”．求解时先将问题进行等价转化为“有且仅有一个整数使得或”．进而将问题转化为断定函数图像的形状问题，然后先对函数进行求导，依据导数与函数的单调性之间的关系推断出该函数在处取最大值，从而借助题设条件得到不等式组，通过解不等式组使得问题获解．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答17.在以为极点的极坐标系中，圆的圆心为，半径为2.（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，取相同的单位长度.直线（为参数）与圆交于、两点，若，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出圆的直角坐标方程，再直接利用转换关系，把极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（Ⅱ）利用直线和圆的位置关系的应用，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】解：（Ⅰ）圆圆心为，根据转换为直角坐标为．由于圆的半径为2，所以圆的方程为，根据转换为极坐标方程为． （Ⅱ）直线为参数）,转换为标准式为为参数）把直线的参数方程代入圆的方程得到：，设和为、对应的参数，，所以．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.已知函数，其图象在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由导数的运算法则可得．由于函数的图象在点处的切线方程为．可得，解出即可；（2）首先求出的导数，依题意，任意使不等式恒成立，即任意时，恒成立．记，利用导数研究的单调性，求出的最小值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1） 由得即（2）由（1）得，依题意，任意使不等式恒成立即任意时，恒成立．记，则，时，，时，所以在上递减，在上递增，．，．【点睛】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线方程，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.某中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如表，其中一等奖代表队比三等奖代表队多10人．该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动．并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中二等奖代表队有5人（同队内男女生仍采用分层抽样）名次性别一等奖代表队二等奖代表队三等奖代表队男生？30◎女生302030（1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取3人上台领奖，用X表示女生上台领奖的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．（2）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生[﹣2，2]内的两个均匀随机数x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序．若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求代表队队员获得奖品的概率． 【答案】（1）分布列详见解析，数学期望E（X）；（2）．【解析】【分析】（1）设代表队共有n人，则，所以n＝160，再设一等奖代表队男生人数为x，可根据表格中的数据列出关于x的方程，解之可得x＝30，因此三个代表队中前排就坐的比例是按照一等奖：二等奖：三等奖＝6：5：5，故前排就坐的16人中一等奖代表队共6人，有3男3女，所以X的可能取值为0，1，2，3，然后根据超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（2）试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2}，事件A表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为，然后依次求出两个区域的面积，根据几何概型即可得解．详解】（1）设代表队共有n人，则，所以n＝160，设一等奖代表队男生人数为x，则x+30+20+30+（x﹣10）+30＝160，解得x＝30，所以一等奖代表队的男生人数为30，所以三个代表队中前排就坐的比例是按照一等奖：二等奖：三等奖＝60：50：50＝6：5：5，故前排就坐的16人中一等奖代表队有3男3女，共6人．于是X的可能取值为0，1，2，3．则P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3）， 所以X的分布列为X0123P∴数学期望E（X）．（2）试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2}，面积为SΩ＝4×4＝16，事件A表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为，如图，阴影部分的面积为，这是一个几何概型，所以，即代表队队员获得奖品的概率为．【点睛】本题考查分层抽样的特点、几何概型、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．20.如图，四棱锥中，底面是正方形，且四个侧面均为等边三角形.延长至点使，连接，.（1）证明：； （2）求二面角平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，推导出平面，从而，由此能证明．（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】（1）连接，交于点，连接，如图∵底面是正方形∴∵四棱锥中四个侧面均为等边三角形∴又，故为、的中点∴∵∴平面∵，为的中点∴∴平面∴（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，0，，，，，，，，，0，，，0，，，，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设二面角的平面角为，则．观察图形知二面角的平面角为钝角二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题．21.已知圆A：（x+1）2+y2＝16，圆C过点B（1，0）且与圆A相切，设圆心C的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点B作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与E交于M，N两点，直线l2与圆A交于P，Q两点，求的取值范围．【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，根据椭圆的定义和性质求出a，b，则椭圆方程可求； （Ⅱ）求出两直线垂直于坐标轴时的值，当两直线斜率存在且不为0时，设l1：y＝k（x﹣1），则l2：y，分别求出|MN|，|PQ|的值，可得关于k的函数，利用配方法求值域．【详解】（Ⅰ）圆A：（x+1）2+y2＝16的圆心A（﹣1，0），半径r＝4，如图，由图可知，|CA|+|CB|＝r＝4，∴圆心C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且c＝1，2a＝4，a＝2．∴b．则曲线E的方程为；（Ⅱ）如图，当l1⊥x轴，l2⊥y轴时，；当l1⊥y轴，l2⊥x轴时，；当两直线斜率存在且不为0时，设l1：y＝k（x﹣1），则l2：y．联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴|MN|•|x1﹣x2| ．圆心A到直线x+ky﹣1＝0的距离d，则|PQ|＝2．∴．∵k2+1＞1，∴，则，∴∈（），综上，的取值范围为[]．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆，直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，训练了利用配方法求最值，属于难题．22.已知函数.（1）讨论的极值；（2）若有两个零点，，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可得到极值；（2）根据零点的概念得到，利用分析法只需证：，令，即证，设，根据函数的单调性证明即可.【详解】（1），①当时，由于，故，，所以在内单调递减，无极值；②当时，由，得，上，，在上，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数有极小值，无极大值，综上：当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.（2）函数有两个零点，，不妨设，由（1）得，且，则，，，即，要证：，需证：，只需证：，只需证：， 只需证：，只需证：，令，即证，设，则，即函数在单调递减，则，即得.【点睛】思路点睛：（1）通过单调性求函数的极值，定义域为，按照导函数的零点与区间端点0的关系进行分类讨论；