江西省2024届高三第一次稳派大联考数学 Word版含解析.docx

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2024届新高三第一次大联考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意化简集合，结合交集运算知识即可得到答案.【详解】由题意得，，又因为，所以.故选：B2.若复数满足，则的虚部为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算求出，再根据共轭复数的定义和复数的概念可得答案.【详解】因为，所以， 所以，其虚部为.故选：C3.已知直线是曲线在点处的切线，则直线在轴上的截距为（）A.B.C.2D.3【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求出直线的方程，令，可得答案.【详解】，又，所以直线的方程为，令，得，即直线在轴上的截距为，故选：A．4.在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则（）A.B.2C.D.3【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件可得，从而得到，然后将原式化简，代入计算，即可得到结果.【详解】因为点是角终边的一点，所以，所以， 由可知，，所以.故选：B5.光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（）A9.1mB.10.9mC.11.2mD.12.1m【答案】A【解析】【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可.【详解】如图所示，设该正四棱台为，上下底面中心分别为，分别取的中点，连接，在平面内，作交于，则，，，显然四边形是矩形，则，，所以， 在直角中，，即该墩台的斜高约为9.1m.故选：A6.已知各项均为正数的数列满足，且数列的前项积为，则下列结论错误的是（）A.若，则B.若，则C.存在及正整数，使得D.若为等比数列，则【答案】C【解析】【分析】对于A，根据题意直接分组求数列的前项积即可；对于B，根据得到；对于C，通过得到即可判断；对于D，根据等比数列定义进行基本量的运算即可.【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，若，则，所以，两式相除得，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以， 又因为数列各项均为正数，所以，即，故不存及正整数，使得，故C错误；对于D，若为等比数列，设其公比为，则，所以，则，故D正确.故选：C7.已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到在单调递减，结合奇函数性质得到在单调递减，，结合奇函数性质将不等式转化为，再结合已知条件列出不等式组求解即可.【详解】因为对任意的，都有，此时，则，所以在单调递减，因为函数是定义在上的奇函数，所以在单调递减，，所以当和时，；当和时，.由，即，所以或或或，所以或或或无解， 所以原不等式解集为故选：D8.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造，研究单调性与最值得到（当且仅当时取等号），进而得到；通过得到进而得到.【详解】设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，所以，所以（当且仅当时取等号），令，则，所以；设，则，所以在单调递增，所以，即，令，则，即.所以.故选：C【点睛】方法点睛：本题考查构造函数比较大小问题.比较大小的常见方法有：（1）利用作差法或者作商法与特殊值比较；（2）构造相关函数，利用导数研究其单调性进而比较函数值；（3）利用中间量进行放缩比较.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，，所以，故B正确；对于C，当，，，时，，故C不正确；对于D，因为，所以，又，所以.故D正确.故选：ABD.10.为庆祝江西籍航天员邓清明顺利从太空返航，邓清明家乡的某所中学举办了一场“我爱星辰大海”航天知识竞赛，满分100分，该校高一（1）班代表队6位参赛学生的成绩（单位：分）分别为：84，100，91，95，95，98，则关于这6位参赛学生的成绩.下列说法正确的是（）A.众数为95B.中位数为93C.平均成绩超过93分D.第分位数是91【答案】ACD【解析】分析】根据题意将成绩排序，结合众数、中位数、平均数、百分位数相关知识求解即可.【详解】将成绩按从小到大的顺序排序为：，对于A，95出现两次，其他数据只出现一次，所以众数为95，故A正确；对于B，中位数为第3,4个数据的平均数，为，故B错误；对于C，平均数为，故C正确；对于D，，所以第分位数是第二个数，为91，故D正确.故选：ACD11.如图，在直三棱柱中，，，则（） A.平面B.平面平面C.异面直线与所成的角的余弦值为D.点，，，均在半径为的球面上【答案】ABC【解析】【分析】根据线面平行的判定定理得出A选项，根据空间向量法判断面面垂直及异面直线所成角判断B,C选项，根据外接球直径判断D选项.【详解】平面，平面，平面，所以A选项正确；取AB的中点O，连接CO，则，以O为坐标原点，OC，OB所在直线分别为x，y轴，过点O且平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系．，则，则，，，， 所以，,，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，，所以平面平面，所以B选项正确；则，故异面直线与所成角的余弦值为,所以C选项正确；在直三棱柱中，，，,,三棱柱可以放入边长为1的正方体中，正方体的外接球是三棱柱的外接球,点，，，均在半径为的球面上,所以D选项错误．故选：ABC．12.加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，均在的蒙日圆上，，分别与相切于，，则下列说法正确的是（） A.的蒙日圆方程是B.设，则的取值范围为C.若点在第一象限的角平分线上，则直线的方程为D.若直线过原点，且与的一个交点为，，则【答案】BC【解析】【分析】对于A，根据椭圆的两条特殊切线的交点求出蒙日圆的半径，可得A错误；对于B，利用椭圆的定义求出的取值范围可得B正确；对于C，利用导数的几何意义求解可得C正确；对于D，根据椭圆的定义以及平面向量数量积的运算律可求出，可得D错误.【详解】对于A，分别过椭圆的顶点，作椭圆的切线，则两切线的交点在椭圆的蒙日圆上，故该蒙日圆的半径，即椭圆的蒙日圆的方程为，故A错误；对于B，由椭圆的定义得，当且仅当点在的延长线上时取等号， ，当且仅当点在的延长线上时取等号，所以的取值范围为，故B正确；对于C，在方程中，令，得，故，设切点，，因为，，所以，，由两边对求导得，所以，，又，，所以，，所以，，所以，，所以点、都在直线上，所以直线的方程为，故C正确； 对于D，，则，所以，由得①，由得②，则①②得，解得，所以，故D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求解椭圆的切线方程，利用平面向量数量积求解向量的长度是解题关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直角三角形的斜边为，向量，，则实数______.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算公式直接计算.【详解】因为直角三角形的斜边为，所以，又因为，，所以，解得.故答案为：14.已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，焦距为8，且的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2，则的标准方程为______.【答案】 【解析】【分析】根据题意及双曲线的性质列出关于a，b，c的方程求解即可.【详解】设的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为a，b，c，由已知得，即，又焦距为8，所以，，，所以的标准方程为．故答案为：．15.唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有______种.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论，第一种情况是来自江西的三位散文家中选出两人，第二种情况是来自江西的三位散文家中选出三人，然后再结合插空法即可得到结果.【详解】由题意可得，若挑选来自江西的三位散文家中选出两人，则另外五位中挑选三人，则有种情况，且他们互不相邻，则有种情况，即；若挑选来自江西的三位散文家中选出三人，则另外五位中挑选两人，且他们互不相邻，则有种情况；故不同的排课方法共有种情况.故答案为：.16.将函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是______. 【答案】【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律得，依题意得，可得，根据条件：函数在区间内有零点，无最值，结合角的范围及三角函数的性质，列出关于的不等式组，求解即可.【详解】由题意得，依题意得，因为函数在区间内有零点，无最值，，解得，当时，满足条件，当时，满足条件，当或时，显然不满足条件．综上可得．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前30项的和. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式求出和，可得通项公式；（2）先求出，再利用并项求和法与等差数列的求和公式可得结果.【小问1详解】设公差为，则，解得，，所以.【小问2详解】，所以，所以.18.在中，内角，，所对的边分别为，，，.（1）求的大小；（2）若角的平分线交于点，，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理及辅助角公式得，结合角的范围可得结果；（2）利用三角形面积公式，由求解即可. 【小问1详解】由已知及正弦定理得，又，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以，即．【小问2详解】由，得．所以．即，解得．19.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，证明得到四边形是正方形，进而得到平面，所以 ，根据直角三角形相关性质可得到；（2）先建立空间直角坐标系，结合线段长度写出坐标，求平面的一个法向量，再结合线面角计算公式求出答案.【小问1详解】取中点，连接，则，又因为，所以四边形是平行四边形，因为，，所以四边形是正方形，所以，即是等腰三角形，则，所以，即，因为平面，平面，所以，又因为平面，，所以平面，因为平面，所以，又因为点是的中点，所以由直角三角形性质易得【小问2详解】因为平面，平面，所以，，又因为四边形是正方形，所以，如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，则， 所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，设直线与平面所成的角为，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为.20.已知抛物线：的焦点为，顶点为坐标原点，过点的直线与相交于两点，当点到直线的距离最大时，.（1）求的标准方程；（2）过点作轴于点，记线段的中点为，且与的面积之和为，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意设，直线与抛物线方程联立，结合弦长公式得到，进而求出最大值即可；（2）设，，得到，得到，根据基本不等式求出最小值即可.【小问1详解】由题意知，，直线斜率不为，设，， 由，得，，，则，当时，，所以，所以的标准方程为【小问2详解】由（1）知，设，，联立，则，，因为线段的中点为，所以点纵坐标为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为21.近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：喜欢网上买菜不喜欢网上买菜合计年龄不超过45岁的市民401050年龄超过45岁的市民203050合计6040100（1）是否有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？（2）社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从，两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率；如果周一选择平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率为，求张无忌周二选择平台买菜的概率；（3）用频率估计概率，现从社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为事件“”的概率为，求使取得最大值的的值.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910828【答案】（1）有（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意，计算，即可得到结果；（2）根据题意，由全概率公式，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由二项分布的概率计算公式得到的表达式，然后计算，即可得到结果.【小问1详解】假设：社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.由题意可得，，则假设不成立，所以有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.【小问2详解】记事件：张无忌周一选择平台买菜；事件：张无忌周二选择平台买菜，则，，，由全概率公式可得，因此，张无忌周二选择平台买菜的概率为.【小问3详解】由题意可知，抽取的20名市民，喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布，且喜欢上网买菜的频率为，则，且，，设，，若，即，即，解得，若，即，即，解得或，所以当时，最大，故的值为.22.已知函数.（1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求得函数定义域为，，通过分类讨论即可得到答案；（2）首先得到的范围，将原式转化为对恒成立，即对恒成立，通过导数研究函数最值即可得到答案.【小问1详解】定义域为，，①当时，令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减；②当时，令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减；综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减.【小问2详解】记，由（1）知，当时，，则，则，当时，恒成立，即对恒成立，即对恒成立， 则，即对恒成立，令，对恒成立，则在单调递增，所以，所以，即实数取值范围为.