四川省成都市石室中学2022-2023学年高三上学期周练（八）理科数学Word版含解析.docx

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成都石室中学高三上期周练8数学（理）试卷第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．1．集合，，则A．B．C．D．2．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数的零点所在区间为A．B．C．D．4．下列叙述中错误的是A.若为真命题，则为真命题B.命题“”的否定是“”C.命题“若，则”的逆否命题是真命题D.已知，则“”是“”的必要不充分条件5.记为正项等比数列的前项和，若，则的值为A．B．C．D．6．若满足约束条件则的最小值为A．16B．8C．4D．27．已知，则A.B.C.D.8．已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为A.B.C.D.9．已知函数，那么下列判断正确的是 A.函数在上单调递减B.函数在上的最小值为C.函数的图象关于直线对称D.要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位长度10．设是双曲线（，）的左、右焦点，在双曲线的一条渐近线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则的离心率为A.B.C.D.11．已知定义在上的函数和都是奇函数，当时，，若函数在区间上有且仅有10个零点，则实数的最小值为A．B．C．D．12．设，，，则A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知等差数列，其前项和为，且，则________.14．已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为_________.15．已知分别是椭圆（）的左、右焦点，在是椭圆短轴的端点，点在椭圆上，且,若的面积为，则_________.16.已知菱形的边长为,,若沿对角线将折起,所得的二面角为钝二面角，若四点所在球的表面积为，则四面体的体积为_______．三、解答题：共70分．17．在中，角所对的边分别为，从以下三个条件中任选一个：①；②；③，分别解答如下的问题： （1）若，且，求；（2）若，求.18．为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%，学校为了考察学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下2×2列联表：（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．19．如图，已知三棱柱，平面平面，，，，、分别是、的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．设抛物线的焦点为，过焦点作直线交于两点.（1）若，求直线的方程；（2）设为上异于的任意一点，直线分别与的准线相交于两点，证明：以线段为直径的圆经过轴上的定点． 21.已知函数.（1）若对任意，都有，求实数的取值范围；（2）若，求证：当时，.22．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程以及曲线上的动点到直线的距离的最大值.（2）与是曲线上的两点，若，求的值.参考答案1．集合，，则A．B．C．D．解析：，，故选A. 2．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：,，则对应的点为，在第二象限，故选B.3．函数的零点所在区间为A．B．C．D．解析：在上递增，，所以在上有唯一零点，故选C.4.下列叙述中错误的是A.若为真命题，则为真命题B.命题“”的否定是“”C.命题“若，则”的逆否命题是真命题D.已知，则“”是“”的必要不充分条件解析：若为真命题，则中至少一个为真命题；为真命题，则都为真命题，故选A.5.记为正项等比数列的前项和，若，则的值为A．B．C．D．解析：设公比为则，，故选A.6．若满足约束条件则的最小值为（）A．16B．8C．4D．2解析：作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时，故选：C. 7．已知，则A.B.C.D.解析：，，故选D.8．已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为A.B.C.D.解析：由可得，常数项为，故选B.9.已知函数，那么下列判断正确的是A.函数在上单调递减B.函数在上的最小值为C.函数的图象关于直线对称D.要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位长度解析：，将的图象向右平移个单位长度后得故选D.10．设是双曲线（，）的左、右焦点，在双曲线的一条渐近线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为 A.B.C.D.解析：因为为等腰三角形，且，所以，其中，.不妨假设点在渐近线上，由题意知：，则，，所以，故双曲线的离心率为，故选C.11．已知定义在上的函数和都是奇函数，当时，，若函数在区间上有且仅有10个零点，则实数的最小值为A．B．C．D．解析：因为是奇函数，所以函数的图象关于点成中心对称，即，又因为函数为奇函数，所以，即，所以，函数的周期为，由于函数为定义在上的奇函数，则，，作出函数与函数的图象如下图所示：,，于是得出，，由图象可知，函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为、、、、、、、、、，第个交点的横坐标为，因此，实数的取值范围是，故实数的最小值为，故选B.12．设，，，则A.B.C.D.解析：， 构造在上单调递减，在上单调递增，，，，，故选D.第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知等差数列，其前项和为，且，则________.解析：,14．已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为_________.解析：，设与的夹角为，则，，.15．已知分别是椭圆（）的左、右焦点，在是椭圆短轴的端点，点在椭圆上，且,若的面积为，则_________.解析：三点共线，，，，.16.已知菱形的边长为,,若沿对角线将折起,所得的二面角为钝二面角，若四点所在球的表面积为，则四面体的体积为_______．解析：以等边三角形的中心分别作两个平面的垂线，交点为外接球球心，由已知，外接球的半径，，在中，可得，，四面体的高为，，. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共计60分．17．在中，角所对的边分别为，从以下三个条件中任选一个：①；②；③，分别解答如下的问题：（1）若，且，求；（2）若，求.【解析】选①由正弦定理可得，因为，所以，所以.（3分）选②，由正弦定理可得（3分）选③，由正弦定理可得，.（3分）（1），（4分）由余弦定理，，得，（6分）解得（7分）（2）（8分）（10分）（12分）（漏1个扣一分） 18．为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活十分关注，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%，学校为了考察学生对寄宿生活适应是否与性别有关，构建了如下2×2列联表：不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生女生合计（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0256.63510.828【解析】（1）不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生83240女生322860合计4060100（表格填对2分）根据列联表中的数据，经计算得到：（5分）所以有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联.（6分）（2）抽取的10人中，有2人不适应寄宿生活，有8人适应寄宿生活（7分）随机变量的取值可以说0，1，2，，（10分）012 （12分）（没有分布列，扣1分，算对一个给1分）19．如图，己知三棱柱，平面平面，，，，、分别是、的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）如图所示，连结，等边中，，则，平面平面，且平面平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，（2分）由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，（4分）结合平面，故.（5分）（2）在底面内作，以点为坐标原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系（6分）设，则，，，据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线的方向向量为： ，（8分）设平面的法向量为，则：据此可得平面的一个法向量为，（10分）此时，设直线与平面所成角为，则.（12分））20．设抛物线的焦点为，过焦点作直线交于两点.（1）若，求直线的方程；（2）设为上异于的任意一点，直线分别与的准线相交于两点，证明：以线段为直径的圆经过轴上的定点．【解析】（1）设直线l的方程为，代入，得．设点，则．（1分），（3分），直线的方程为.（5分）（2）设点，点,则，直线的方程为．（6分）令，得，所以点．同理，点．（7分）设以线段为直径的圆与x轴的交点为， 则．由题知，则，即，（9分）得或．（11分）故以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点和．（12分）21.已知函数.（1）若对任意，都有，求实数的取值范围；（2）若，求证：当时，.【解析】（1）由题意，原不等式可转化为对任意恒成立，可知在上单调递增，（2分）在恒成立，（4分）故，所以（5分）（不带等号扣1分）（2）当时，因为，，故在单调递增，，①当时，故在单调递增，所以.（7分）②，当时，，故存在使得，且在单减，在单增，故，由（*）代入上式得（9分）因为，令，即，当时，，所以在上单调递增， 所以，（11分）所以，当时，，即得证.（12分）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程以及曲线上的动点到直线的距离的最大值.（2）与是曲线上的两点，若，求的值.【解析】（1）极坐标方程为（2分）设，则，当时，最大值为（5分）（2）曲线的极坐标方程为，