重庆市南开中学校2022-2023学年高三第十次数学（原卷版）

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重庆市高2023届高三第十次质量检测数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知为虚数单位，，则（）A.B.C.D.2.已知全集，能表示集合关系的Venn图是（）A.B.C.D.3.2023年4月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（）A.猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小B.猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍C.去年4月鲜菜价格要比今年4月低D.这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%

14.已知等比数列各项均为正数，，的前项和为，则（）A.3B.C.D.135.已知侧面积为的圆柱存在内切球，则此圆柱的体积为（）A.B.C.D.6.已知，则最小值为（）A.B.C.D.7.已知定义在上函数满足，且是偶函数，当时，，则（）A.B.C.D.38.已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9.一组数据是公差为2的等差数列，若去掉三项后，则（）A.平均数没变B.中位数没变C.方差没变D.极差没变10.已知，则下列说法正确的是（）A.的图象可由的图象左移个单位得到B.与图象交点的横坐标成等差数列C.函数在上单调递减D.函数的一条对称轴为

211.已知三棱锥，，为棱上一点，且，过点作平行于直线和的平面，分别交棱于．下列说法正确的是（）A.四边形为矩形B.四边形的周长为定值C.四边形的面积为定值D.当时，平面分三棱锥所得的两部分体积相等12.19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），后来人们称之为狄利克雷函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为（其中且），则下列说法正确的是（）A.都有B.函数和均不存在最小正周期C.函数和均为偶函数D.存在三点在图像上，使得为正三角形，且这样的三角形有无数个三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，若与平行，则实数______________．14.的展开式中含有项的系数为__________．

315.过点可作曲线的两条切线，则实数的取值范围是_____________．16.已知为圆上一点，椭圆焦距为6，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围为_________________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图所示，正三棱柱中各条棱长均为2，点分别为棱的中点．（1）求异面直线和所成角的正切值；（2）求点到平面的距离．18.已知中，角的对边分别为，满足．（1）求角；（2）若，求．19.已知数列满足．（1）求数列通项公式；（2）若不等式对恒成立，求实数取值范围．20.现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）．（1）记盒子乙中的小球个数为随机变量，求的数学期望；（2）对于两个不互相独立的事件，若，称为事件的相关系数．①若，求证：；②若事件盒子乙不空，事件至少有两个盒子不空，求．

421.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．（1）求实数的值及抛物线的标准方程；（2）如图，过点的直线交轴于点，点在线段上，过点的直线交抛物线于不同两点（点异于点），直线分别交抛物线于不同的两点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①为的中点；②直线为抛物线的切线；③∥．22.已知函数为其极小值点．（1）求实数值；（2）若存在，使得，求证：．

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