讲义总结注册结构专业基础微分方程讲义

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1、第五节微分方程一、基本概念（一）微分方程表示未知函数及其导数、自变量之间的关系的方程，称为微分方程。微分方程中所出现的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。（二）微分方程的解、通解微分方程的解是一个函数，把这函数代人微分方程能使该方程成为恒等式。确切地说，对于n阶微分方程那么函数就称为微分方程（1-5-l）在区间I上的解。如果二元代数方程所确定的隐函数是某微分方程的解，那么称为该微分方程的隐式解。含有n个独立的任意常数的微分方程的解，称为n阶微分方程的通解。（三）初始条件与特解能用来确定通解中的任意常数的条件称为初始条件。通常一阶微分方程的初

2、始条件为；二阶微分方程卯初始条件为，。通解中的任意常数全都确定后，就得到一个确定的解，称为微分方程的特解。（四）例题【例1-5-l】验证函数是微分方程的通解。【证】代人方程有8页所给方程是二阶的，所给函数中恰好含Cl、C2两个任意常数，且因常数，故这两个任意常数不能合并成一个，即它们是相互独立的，因此所给函数是所给方程的通解。二、可分离变量的方程一阶微分方程称为可分离变量的方程。把式中的y和dy归人方程的一端，x和dx归人另一端，成为这一步骤称为分离变量。分离变量后，两端可分别积分设g（y）、f（x）的原函数依次为G（y）与F（x），即得方

3、程（1-5-2）的通解【例1-5-2】xOy平面上一条曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求它的方程。【解】设曲线上任一点为（x，y），依题意，曲线在点（x，y）的切线在两坐标轴上的截距应为2x及2y,（图1-5-1），切线斜率为，因此有8页初始条件为x＝2时y=3。分离变量得积分得以初始条件代入得C1=6，故所求曲线方程为三、一阶线性方程方程称为一阶线性方程。当时，式（1-53）称为线性齐次方程；当时，式（1-53）称为线性非齐次方程。线性齐次方程是一个变量可分离的方程。经分离变量并积分，即得通解为解非齐次方程

4、（1-5-3)，可作变换，代入方程得整理得积分得于是得方程（1-5-3）的通解例题8页1．求方程的通解。【解】利用一阶线性方程的通解公式（1-5-4）来求解，为此，把所给方程写成标准形式这里代入公式（15-4)，得2．已知微分方程的一个特解为，则此微分方程的通解是【解】原方程对应的齐次方程的通解为根据线性方程解的结构可知原微分方程的通解为故应选（C）。全微分方程8页几种可降阶的方程这类方程可直接积分，积分一次得即把原方程降低一阶。积分n次，即可得通解这是不显含y的二阶方程，令，则，代人即得这样就把二阶方程降为一阶方程。设求得此一阶方程的通解

5、为，则原方程的通解为这是不显含x的二阶方程，令，则8页代人方程得即把二阶方程降为一阶方程。设求得此一阶方程的通解为，即，分离变量并积分得原方程的通解为（四）例题1．求方程的通解。【解】这是不显含y的方程，令令，则，代人方程，得一阶线性方程利用通解公式（1-5-4),有积分得2．求微分方程满足初始条件的解。【解】这是不显含x的方程。令，则，代入方程得积分得由y=1时p=2，得Cl=0，且知负号不合，故8页积分得由得C2=4，于是所求特解为线性微分方程解的性质及解的结构定理设有二阶齐次线性方程则有例题写出该方程的通解8页二阶常系数线性齐次方程二

6、阶常系数线性齐次方程的一般形式是称为微分方程的特征方程，特征方程的根称为特征根。按特征根的情况，可直接写出方程的通解如下：例题1．例题2．8页