北京市东城区2021届高三上学期期末考试数学Word版含答案

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东城区2020-2021学年度高三第一学期期末统一检测数学试卷本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则A.B.C.D.2.已知是公差为d的等差数列，为其前n项和.若，则A.B.C.1D.23.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是A.B.C.D.4.将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图为A.B.C.D.5.与圆相切于点的直线的斜率为

1A.B.C.D.26.函数（，）的部分图象如图所示，则A.B.C.D.7.设，是两个不同线向量，则“与的夹角为锐角”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件8.十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有A.242种B.220种C.200种D.110种9.已知抛物线（）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，则点A到y轴的距离为（）A.5B.4C.3D.210.某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：①10人（含）以上团体购票9折优惠；②50人（含）以上团体购票8折优惠；③100人（含）以上团体购票7折优惠；④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）.现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为A.1090元B.1171元C.1200元D.1210元第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

211.复数________.12.函数的定义域是________.13.已知，，则________，________.14.已知双曲线M：（，），为等边三角形.若点A在y轴上，点B，C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为的中位线，则双曲线M的离心率为________.15.已知函数，，其中表示不超过x的最大整数.例如：，，.①________；②若对任意都成立，则实数a的取值范围是________.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为2的正方形，E，F分别为，的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.17.（本小题13分）已知函数，，在从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

3（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）在区间上的最大值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题14分）为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为，，，，，（单位：克），其频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）用分层抽样的方法从样本里质量在，的水果中抽取6个，求质量在的水果数量；（Ⅱ）从（Ⅰ）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在的水果数量，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）果园现有该种水果越20000个，其等级规则及销售价格如下表所示：质量m（单位：克）等级规格二等一等特等价格（元/个）4710试估计果园该种水果的销售收入.19.（本小题15分）已知椭圆C：（）过点，，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；

4（Ⅱ）设直线l与椭圆C有且仅有一个公共点E，且与x轴交于点G（E，G不重合），轴，垂足为T，求证：.20.（本小题15分）已知函数，.（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；（Ⅱ）若，求证：当时，；（Ⅲ）若恰有两个零点，求a的值.21.（本小题15分）给定正整数m，t（），若数列A：满足：，，，则称数列A具有性质.对于两个数列B：；C：，定义数列；（Ⅰ）设数列A具有性质，数列的通项公式为（），求数列的前四项和；（Ⅱ）设数列（）具有性质，数列B满足，，，且（）.若存在一组数列，使得为常数列，求出m所有可能的值；（Ⅲ）设数列（）具有性质（常数），数列B满足且（）.若存在一组数列，使得为常数列，求k的最小值.（只需写出结论）东城区2020-2021学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准2021.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.D2.C3.D4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

511.12.13.14.15.三、解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（Ⅰ）因为平面，所以.因为底面是正方形，所以.因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（Ⅱ）因为底面，所以，.因为底面是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系.因为，底面为边长为2的正方形，所以，，，，，，.则，，.

6设平面的法向量，由，可得.令，则，.所以.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.18.（共14分）解：（Ⅰ）质量在，的该水果的频率分别为，，其比为，所以按分层抽样从质量在，的这种水果中随机抽取6个，质量在的该种水果有4个.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6个水果中由2个质量在，所以X的所有可能取值为0，1，2.，，.所以X的分布列为

7X012P故X的数学期望.（Ⅲ）由频率分布直方图可知，质量在，，，，，的该种水果的频率分别为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.所以估计20000个水果中，二等品有个；一等品有个；特等品有个.果园该种水果的销售收入为（元）.19.（共15分）解：（Ⅰ）依题意，得解得，.所以椭圆C的方程为.（Ⅱ）由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：（）.由消去y，整理得.依题意，有，解得.设，，则，.因为轴，所以.所以.

8又因为，所以.20.（共15分）解：（Ⅰ）因为，所以，故.所以.所求切线方程为，即.（Ⅱ）当时，，.当时，；当时，.所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以的最小值为.故时，.（Ⅲ）对于函数，.（i）当时，，没有零点；（ii）当时，.当时，，所以在区间上单调递增；当时，，所以在区间上单调递减；当时，，所以在区间上单调递增.所以是的极大值，是的极小值.

9因为，所以在上有且只有一个零点.由于，①若，即，在区间上没有零点；②若，即，在区间上只有一个零点；③若，即，由于，所以在区间上有一个零点.21.（共13分）解：选条件①：；（Ⅰ）.所以的最小正周期是.（Ⅱ）因为，所以.

10所以.所以.当，即时，有最大值.选条件②：.（Ⅰ）.所以的最小正周期是.（Ⅱ）因为，所以.所以，当，即时，有最大值1.由（Ⅱ）知，当时，，所以.故在区间上有一个零点.因此时，在区间上有两个零点.综上，当有两个零点时，.

1122.（共15分）（Ⅰ）数列的前四项和为A的前四项和与B的前四项和之和，为.（Ⅱ）由题知，数列（）满足：，（），所以只考虑数列和B的前四项.取为1，0，0，0；1，0，0，0；1，0，0，0；0，1，0，0；0，1，0，0；0，0，1，0，可使的前四项为4，4，4，4，所以成立；取，，为1，1，0，0；1，1，0，0；1，0，1，0，可使的前四项为4，4，4，4，所以成立；取为1，1，1，0；1，1，1，0；1，1，0，1；1，1，1，0；1，0，1，1；1，1，0，1，可使的前四项为7，7，7，7，所以成立；当时，前四项是1，1，1，1，所以对任意的k，不会是常数列；综上，，2，3.（Ⅲ）.