天津市河西区2020-2021学年高一下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年天津市河西区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）.1．下列情况适合用全面调查的是（　　）A．了解一批玉米种子的发芽率B．了解某城市居民的食品消费结构C．调查一个县各村的粮食播种面积D．调查一条河的水质2．下列命题正确的是（　　）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．圆心和圆上两点可确定一个平面D．梯形可确定一个平面3．设p：“事件A与事件B互斥”，q：“事件A与事件B互为对立事件”，则p是q的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则该试验的样本空间所包含的基本事件的个数为（　　）A．6B．9C．12D．165．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，若直线l满足1⊥m，1⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）A．α∥β，l∥αB．α与β相交，且交线平行于lC．α⊥β，l⊥βD．α与β相交，且交线垂直于l6．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不低于90km/h的约有（　　）

1A．100辆B．200辆C．300辆D．390辆7．在空间，若∠AOB＝∠AOC＝60°，∠BOC＝90°，直线OA与平面OBC所成的角为θ，则cosθ＝（　　）A．B．C．D．8．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分．评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（　　）A．平均数B．中位数C．极差D．方差9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，则下列说法不正确的是（　　）A．A1F与D1E不可能平行B．A1F与BE是异面直线C．点F的轨迹是一条线段D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．10．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市　　家．11．一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n（Ω）＝24，n（A）＝12，n（B）＝8，n（A∪B）＝16，则P（AB）＝　　．12．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，则α与β的位置关系是　　．13．如表记录了一位大学生某个月在食品上面的消费金额（单位：元）日期123456789101112131415

2金额312926323328343134343526273534日期161718192021222324252627282930金额282830322833263534353028343129则该组数据的第60%分位数为　　．14．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为　　．15．在正四棱锥P﹣ABCD中，已知侧棱和底面边长都等于2，E是AB的中点，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为　　．三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．（1）求这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数；（2）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数．17．甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响．（Ⅰ）求甲第二次答题通过面试的概率；（Ⅱ）求乙最终通过面试的概率；（Ⅲ）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．18．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E、

3F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．

4参考答案一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）.1．下列情况适合用全面调查的是（　　）A．了解一批玉米种子的发芽率B．了解某城市居民的食品消费结构C．调查一个县各村的粮食播种面积D．调查一条河的水质解：A．了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意；B．了解某城市居民的食品消费结构合抽样调查，故不符合题意；C．调查一个县各村的粮食播种面积适合抽样调查，故不符合题意；D．调查一条河的水质适合全面调查，故符合题意；故选：D．2．下列命题正确的是（　　）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．圆心和圆上两点可确定一个平面D．梯形可确定一个平面解：由不共线的三点确定一个平面，故A错误；由一条直线和该直线外一点确定一个平面，故B错误；当圆心和圆上两点在圆的直径上，不能说明该三点确定一个平面，故C错误；由于梯形是有一组对边平行的四边形，可得梯形确定一个平面，故D正确．故选：D．3．设p：“事件A与事件B互斥”，q：“事件A与事件B互为对立事件”，则p是q的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，①由条件A与条件B互斥，不一定有条件A与条件B互为对立事件，②由条件A与条件B互为对立事件，一定有条件A与条件B互斥．∴p是q的必要而不充分条件．

5故选：B．4．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则该试验的样本空间所包含的基本事件的个数为（　　）A．6B．9C．12D．16解：由题意，该试验的样本空间所包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，故选：A．5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，若直线l满足1⊥m，1⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）A．α∥β，l∥αB．α与β相交，且交线平行于lC．α⊥β，l⊥βD．α与β相交，且交线垂直于l解：如果α∥β，由m⊥α，可得m⊥β，又n⊥β，可得m∥n，与m，n为异面直线矛盾，故A错误；如果α⊥β，又m⊥平面α，n⊥平面β，由线面垂直和面面垂直的性质，可得m⊥n，将m，n平移至相交直线，可得l垂直于相交直线确定的平面，可得l可能平行于β，故C错误；平移m，n至相交直线，设相交直线确定的平面为γ，可得α⊥γ，β⊥γ，由α、β相交，设交线为n，可得n⊥γ，由1⊥m，1⊥n，l⊄α，l⊄β，可得l⊥γ，所以l∥n，故B正确；D错误．故选：B．6．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不低于90km/h的约有（　　）A．100辆B．200辆C．300辆D．390辆解：估计频率分布直方图可得速度不低于90km/h的约有（0.03+0.009）×10×1000＝390．故选：D．7．在空间，若∠AOB＝∠AOC＝60°，∠BOC＝90°，直线OA与平面OBC所成的角为θ，则cosθ＝（　　）

6A．B．C．D．解：如图，取OA上一点A，过点A作AH⊥平面BOC于H，连接OH，则∠AOH为直线OA与平面OBC所成的角θ，分别作HE⊥OB，交OB于点E，HF⊥OC，交OC于点F，连接AE、AF，得AE⊥OB，AF⊥OC，因为∠AOB＝∠AOC＝60°，∠OEA＝∠OFA，OA＝OA，所以△OEA≌△OFA，所以AE＝AF，所以EH＝FH，则OH为∠BOC的角平分线，由∠BOC＝90°，可得∠FOH＝45°，则∠OFH＝45°，所以△OFH为等腰直角三角形，令OF＝a，则OH＝a，OA＝2a，所以cos∠AOH＝＝，即cosθ＝．故选：A．8．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分．评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（　　）A．平均数B．中位数C．极差D．方差解：7个有效评分与9个原始评分相比，平均数、极差、方差都有可能变化，9个原始评分的中位数是从小到大排序后的第5个数，7个有效评分的中位数是从小到大排序后的第4个数，是同一个数，

7故选：B．9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，则下列说法不正确的是（　　）A．A1F与D1E不可能平行B．A1F与BE是异面直线C．点F的轨迹是一条线段D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值解：设平面D1AE与直线BC交于G，连接AG，EG，则G为BC的中点，分别取B1B，B1C1的中点M，N，连接A1M，MN，A1N，如图，∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE，同理可得MN∥平面D1AE，又A1M、MN是平面A1MN内的两条相交直线，∴平面A1MN∥平面D1AE，而A1F∥平面D1AE，∴A1F⊂平面A1MN，得点F的轨迹为一条线段，故C正确；并由此可知，当F与M重合时，A1F与D1E平行，故A错误；∵平面A1MN∥平面D1AE，BE和平面D1AE相交，∴A1F与BE是异面直线，故B正确；∵MN∥EG，则点F到平面D1AE的距离为定值，∴三棱锥F﹣ABD1的体积为定值，故D正确．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．

810．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市　20　家．解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，∴共有超市200+400+1400＝2000，∵按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∴中型超市要抽取400×＝20家，故答案为：20．11．一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n（Ω）＝24，n（A）＝12，n（B）＝8，n（A∪B）＝16，则P（AB）＝　4　．解：∵n（A）＝12，n（B）＝8，n（A∪B）＝16，∴n（AB）＝n（A）+n（B）﹣n（A∪B）＝4，∴P（AB）＝＝＝．故答案为：．12．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，则α与β的位置关系是　平行或相交　．解：若α∥β，可以保证存在直线a，b，c且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，若α∩β＝l，且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，所以在题设条件下，α与β的关系是平行或相交．故答案为：平行或相交．13．如表记录了一位大学生某个月在食品上面的消费金额（单位：元）日期123456789101112131415金额312926323328343134343526273534日期161718192021222324252627282930金额282830322833263534353028343129则该组数据的第60%分位数为　32.5　．解：∵30×60%＝18，∴该组数据的第60%分位数为从小到大排序后第18与19个数据的平均数，由上表知，小于30的数据有11个，有2个30，3个31，2个32，2个33，故第18与19个数据分别是32、33，故该组数据的第60%分位数为＝32.5，故答案为：32.5．

914．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为　　．解：一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件总数n＝10×9＝90，两次取到的球颜色相同包含的基本事件个数m＝4×3+6×5＝42，则两次取到的球颜色相同的概率为P＝＝＝．故答案为：．15．在正四棱锥P﹣ABCD中，已知侧棱和底面边长都等于2，E是AB的中点，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为　　．解：取CD的中点N，连接EN，PN，再取EN的中点H，易知H为P点在底面的投影，则有PH⊥平面ABCD，如图所示，∴EF∥BC，∴∠PEH为异面直线PE与BC所成角，PE＝PN＝，EN＝2，EH＝，在Rt△PEH中，cos∠PEH＝．故答案为：．三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．（1）求这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数；

10（2）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数．解：（1）依题意，100名学生中参加实践活动的时间在6～10小时内的人数为：100×[1﹣（0.04+0.12+0.05）×2]＝58，即这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数为58．（2）由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为7，故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时，由（0.04+0.12+0.15+a+0.05）×2＝1，解得a＝0.14，则6+，即这100名学生参加实践活动时间的中位数为7.2小时，这100名学生参加实践活动时间的平均数为：0.04×2×3+0.12×2×5+0.15×2×7+0.14×2×9+0.05×2×11＝7.16小时．17．甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响．（Ⅰ）求甲第二次答题通过面试的概率；（Ⅱ）求乙最终通过面试的概率；（Ⅲ）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．解：（Ⅰ）设甲第二次答题通过面试为事件A，则p（A）＝（1﹣）×＝．（Ⅱ）设乙最终通过面试为事件B，对立事件为乙最终没通过面试，∵p（）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，

11∴p（B）＝1﹣＝．（Ⅲ）设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件C，对立事件为甲、乙两人都没有通过面试，∵p（）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）×＝，∴p（C）＝1﹣＝．18．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：取PC的中点O，连接OE，OF，则OF∥DC，且OF＝DC，又E为AB的中点，在矩形ABCD中，AE∥DC且AE＝，所以OF∥AE且OF＝AE，所以四边形AEOF为平行四边形，则AF∥OE，又AF⊄平面PEC，OE⊂平面PEC，所以AF∥平面PEC；（Ⅱ）解：连接AC，因为PA⊥平面ABCD，所以∠PCA即为直线PC与平面ABCD所成的角，在Rt△PAC中，PC2＝PA2+AC2，且，故＝，所以PC与平面ABCD所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：作AM⊥CE交CE的延长线于点M，连接PM，则PM⊥CE，所以∠PMA即为二面角P﹣EC﹣D的平面角，

12由△AME∽△CBE，则，所以＝，故二面角P﹣EC﹣D的正切值为．