黑龙江省大庆市东风中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学Word版含答案

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大庆市东风中学高一下学期第三次考试数学试卷一、单选题（每个小题5分共60分）1．i是虚数单位，计算的结果为（）A．B．iC．D．2．在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他4个小长方形面积和的，且样本容量为210，则中间一组的频数为（）A．10B．20C．60D．703．在中，已知则等于（）A．4B．3C．D．4．已知平面向量，满足，=3，与的夹角为60°，则（）A．B．C．5D35．“点P在直线m上，m在平面内”可表示为（）A．B．C．D．6．设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（）A．B．C．D．7．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．B．C．D．8．在中，若，，则外接圆的直径为（）A．B．12C．24D．试卷第5页，总5页

19．用、表示两条不同的直线，用、表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若∥，∥，则∥B．若∥，，则∥C．若，∥，则D．若，，则10．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵.某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在内，按通行时间分为，，，，五组，频率分布直方图如图所示，则这台车中通行时间少于分钟的共有（）A．台B．台C．台D．台二、多选题12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．D1D⊥AFB．A1G∥平面AEFC．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为试卷第5页，总5页

2D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍第II卷（非选择题）三、填空题（每个小题5分共20分）13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是_______三角形（填“锐角”、“钝角”、“直角”中的一个）．14．直三棱柱ABC－的六个顶点都在球O的球面上．若AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，，则球O的表面积为________．15．已知样本数据，，…，的均值，则样本数据，，…，的均值为______.16．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则三棱锥的体积为______，球的表面积为______．五、解答题17．（10分）已知复数z1＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数.（1）求实数m的值；（2）若(3＋z1)z＝4＋2i，求复数z.18．（12分）如图是总体的一个样本频率分布直方图，且在内频数为.（1）求样本容量；（2）若在内的小矩形面积，求在内的频数；（3）在（2）的条件下，求样本在内的频率.试卷第5页，总5页

319．（12分）在中，，，所对的边为，，，满足.（1）求的值；（2）若，，则的周长.20．（12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.21．（12分）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知=(2a,2b)，且满足.（1）求C；（2）若，求当函数取最小值时的周长；22．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，E为的中点，且.试卷第5页，总5页

4（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.试卷第5页，总5页

5答案1．A2．C3．C4．D5．B6．C7．B8．D9．C10．A11．D12．BCD13．钝角14．15．716．17．（1）m＝0；（2）1＋i.18．（1）；（2）；（3）.19．（1）；（2）.（1）由条件，展开化简可得，结合余弦定理可得，因为，所以.（2）由（1）可知，而，，则由正弦定理可得，代入解得，，所以的周长为，20．（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B.又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.答案第4页，总4页

6又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.（2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1.∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝.在Rt△A1DA中，AD＝.∴sin∠A1DA＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.21．（1）；（2）；（3）.（1）由题意可得，根据正弦定理可得，则，所以，又为三角形内角，所以，因此，所以；（2）因为，由可得，因此；所以当且仅当时，取得最小值，此时；因为，所以，，则的周长为；答案第4页，总4页

722．（1）证明见解析（2）（1）证明：取中点，连接、，如图，为等腰直角三角形，，且，，且，即，，四边形是正方形，，，、面，面，面，，，且、面，面，面，平面平面．（2）平面平面，，，，，取中点，则，，答案第4页，总4页

8，即为所求二面角的平面角，，，面与面所成的锐二面角余弦值为．答案第4页，总4页