黑龙江省大庆市东风中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）Word版含答案

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大庆市东风中学高二年级下学期第四次考试数学试卷一、单选题（每小题5分，共计12题，总分60分）1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若是假命题，是真命题，则（）A．是真命题B．是假命题C．是真命题D．是真命题3．命题的否定是（）A．，B．，C．，D．，4．函数的定义域是（）A．B．C．D．5．已知，则（）A．1B．2C．3D．156．已知函数的定义域为实数集，对，有成立，且，则()A．10B．5C．0D．-57．已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（）第5页共8页◎第6页共8页

1A．②①③④B．②③①④C．④①③②D．④③①②8．已知，，，则（）A．B．C．D．9．函数的图像大致为（）A．B．C．D．10．设函数，则零点的个数为（）A．B．C．D．11．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．若函数在上可导，且，则当时，下列不等式成立的是(　　)A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共计4题，总分20分）13．“”是“”成立的_____________条件.14．函数的值域为______．15．已知的定义域为，则的定义域为_______________.16．函数（）在内不存在极值点，则a第5页共8页◎第6页共8页

2的取值范围是_______________．三、解答题（共计6题，总分70分）17．（10分）计算下列各式的值：（1）；（2）.18．（12分)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数).在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程（2）设直线与曲线交于，两点，求.19．(12分）已知函数是定义域上的奇函数．（1）确定的解析式；（2）若在区间上是减函数，解不等式．20．（12分）已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为．（1）求的解析式；（2）若在区间,上有最小值2，求实数的值．21．（12分）2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳总计男生10女生20总计第5页共8页◎第6页共8页

3已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.（1）请将上述列联表补充完整；（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.附：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82822．(12分)已知曲线在处的切线经过原点．（1）求实数的值；（2）若，讨论的极值点的个数．第5页共8页◎第6页共8页

4参考答案1．A【详解】因为集合，，则，故选：A.2．C【详解】解：是假命题，是真命题，是假命题，是真命题，是真命题，是假命题，错，对．故选：．3．A【详解】特称命题的否定是全称命题，即命题“”的否定是“”.故选：A4．C【分析】【详解】由题意得解得或.所以原函数的定义域为.故选：C.5．A根据分段函数的定义，先求内层函数的值，然后再求外层函数的值.【详解】解：因为，所以，所以，故选：A.6．D【详解】对，有，所以，答案第11页，总11页

5所以函数的周期为，所以，对于令可得，所以，即，故选：D.7．D【详解】①：函数是实数集上的增函数，且图象过点，因此从左到右第三个图象符合；②：函数是实数集上的减函数，且图象过点，因此从左到右第四个图象符合；③：函数在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；④：函数在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，故选：D8．B【详解】因为，，，所以.故选：B.9．C函数的定义域为，，即函数是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A，B；x>0时，，而，则有，显然选项D不满足，C符合要求.故选：C10．B【详解】令，得，即，则函数的零点个数等于函数和函数的交点个数，在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：答案第11页，总11页

6由上图可知，函数和函数有两个交点，因此，函数的零点个数为，故选B【点睛】本题考查函数的零点个数的求解，一般有以下两种方法：（1）代数法：解方程的根；（2）图象法：求函数的零点个数，可转化为两个函数和函数图象的交点个数.11．C【分析】令，，分析出内层函数和外层函数的单调性，以及真数在所给的区间上恒为正数可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.【详解】令，易知在其定义域上单调递减，要使在上单调递减，则在单调递增，且，即，所以，即.因此，实数的取值范围是.故选：C.答案第11页，总11页

7【点睛】关键点点睛：解本题的关键点：（1）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性；（2）不要忽略了真数要恒大于零.12．D【解析】构造函数：得函数g（x）为减函数，又所以点睛：可先观察备选答案中含有，又，故想到构造函数，分析单调性即可得出结论.此题可作为重点积累13．充要【分析】利用充分，必要条件的定义，结合不等式的性质判断【详解】，即，反过来，当，即，所以“”是“”成立的充要条件.故答案为：充要14．【分析】按和分别求出函数的值域，取并集可得答案．【详解】当时，当时，综上可得，的值域为答案第11页，总11页

8故答案为：15．【分析】由题意得出，解出该不等式即可得出函数的定义域.【详解】由于函数的定义域为，对于函数，有，即，即，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，解决抽象函数的定义域问题，需要注意以下两个问题：函数的定义域为自变量的取值范围、另外就是中间变量的取值范围一致，考查运算求解能力，属于基础题.16．．【分析】将函数在内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数或恒成立即可求解.【详解】解：∵函数（）在内不存在极值点，∴函数在内单调递增或单调递减，∴或在内恒成立，∵，令，二次函数的对称轴为，答案第11页，总11页

9∴，，当时，需满足，即，当时，需满足，即，综上所述，a的取值范围为．故答案为：．17．（1）；（2）8.【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求得结果；（2）根据对数的运算性质可求得结果【详解】（1）原式；（2）原式.18．（1）；（2）【分析】（1）将直线的参数方程化为普通方程，再根据得到直线的极坐标方程；（2）因为等价于和，联立直线与曲线的极坐标方程，得到、，从而计算可得；【详解】解：（1）将(其中为参数)消去参数得，将代入得答案第11页，总11页

10，所以，即（2）因为等价于和不妨设与曲线交于点A，与曲线交于点B；由，则由，则所以19．（1）；（2）．【分析】（1）根据奇函数的定义，代入求解即可；（2）因为在上既是奇函数又是减函数，所以移项根据增减性可列出的不等关系，解不等式组即可.【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，即，化简得，因此，；（2）因函数是定义域（-1，1）上的奇函数由得，又在区间上是减函数所以，解得．答案第11页，总11页

11因此，不等式的解集为．【点睛】思路点睛：已知的奇偶性和单调性，求不等式中变量的范围（1）对不等式移项，再根据奇偶性转化为或；（2）由单调性建立的不等关系，求解即可.注意的范围一定要落在在定义域中.20．（1）；（2）或．【分析】（1）由一元二次不等式的解知，1和3是方程的两根且，利用根与系数的关系即可求参数，写出解析式.（2）由二次函数的开口及对称轴，结合其在闭区间上的最小值，讨论、、情况下，求符合条件的t值即可.【详解】（1）由，得，又1和3是方程的两根，∴，．解得，，∴．（2），．开口向上且对称轴为，当时，在上为增函数，，解得，符合题意；当时，在上为减函数，在上为增函数，，解得，其中舍去；当时，在上为减函数，，解得，不符合题意．综上可得，或．21．（1）列联表见解析；（2）有把握.【分析】（1）根据题意分析数据，完成列联表；（2）套公式计算，对照参数下结论即可.【详解】答案第11页，总11页

12（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为所以喜欢游泳的学生人数为.其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生401050女生203050合计6040100（2）因为所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.22．（1）；（2）答案见解析．【分析】（1）根据导数的几何意义求出在处的切线方程，然后将代入切线方程即可求解.（2）对求导，得到，由于正负不容易确定，故令，进行再次求导得到，接下来对进行分类讨论即可求出结果.【详解】解：（1）由题意知，所以，又因为，所以切线方程为．代入点，得．（2），．令，则．答案第11页，总11页

13令．（ⅰ）若，则，，在上单调递减，注意到，所以的单调性如下表：10极大值此时有一个极值点．（ⅱ）若，令，得（舍），，易知在上单调递减，在上单调递增．下面讨论与1的大小关系，由于．①若，则，．由的单调性知，而时，，则存在使得，因此的单调性如下表：100极大值极小值此时有两个极值点．②若，则．又，由的单调性知，即，所以单调递增，无极值点．综上所述：若，则有一个极值点；若，则有两个极值点；若，则没有极值点．答案第11页，总11页

14【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．答案第11页，总11页