（精校版）湖北省文数卷文档版（有答案）-2015年普通高等学校招生统一考试.doc

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i为虚数单位，（）A．iB．-iC．1D．-12.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3.命题“”的否定是（）A．B．C．D．4.已知变量x和y满足关系，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关5.表示空间中的两条直线，若p：是异面直线，q：不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6.函数的定义域为（）A．B．C．D．7.设，定义符号函数，则（）A．B．C．D．8.在区间上随机取两个数x，y，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（）A．B．C．D． 9.将离心率为的双曲线的实半轴长a和虚半轴长b同时增加m个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A．对任意的a，b，B．当时，；当时，C．对任意的a，b，D．当时，；当时，10.已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清、模棱两可均不得分。11.已知向量，，则.12.设变量x，y满足约束条件，则的最大值为.13.函数的零点个数为.14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.（1）直方图中的a=.（2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度CD=m. 16.如图，已知圆C与x轴相切于点，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且.（1）圆C的标准方程为.（2）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.17.a为实数，函数在区间上的最大值记为.当时，的值最小.三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18、（本小题满分12分）某同学将“五点法”画函数f(x)=Asin(wx+φ)(w>0,︱φ︱<)在某一个时期内的图像时，列表并填入部分数据，如下表：0050（I）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式； （I）将y=f(x)图像上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=g（x）图像，求y=g（x）的图像离原点O最近的对称中心。19、（本小题满分12分）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q，已知=-=2，q=d，=100.（I）求数列，的通项公式（II）当d>1时，记=，求数列的前n项和Tn。20、（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE。(I)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑。若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；(II)记阳马P-ABCD的体积为，四面体EBCD的体积为，求的值21（本小题满分14分）设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+g(x)= ，其中e为自然对数的底数。（I）求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x>0时，f(x)>0，g(x)>1;（II）设。证明：当x>0时，22、（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系。（I）求椭圆C的方程；（II）设动直线l与两定直线：x-2y=0和：x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由。2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.A2.B3.C4.A5.A6.C7.D8.B9.D10.C二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11.912.1013.214.（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.15.16.（Ⅰ）；（Ⅱ）.17.三、解答题（本大题共5小题，共65分）18.（12分）（Ⅰ）根据表中已知数据，解得.数据补全如下表：且函数表达式为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此.因为的对称中心为，.令，解得，.即图象的对称中心为，，其中离原点最近的对称中心为.19.（12分）（Ⅰ）由题意有，即，解得或故或.（Ⅱ）由，知，，故，于是，①.②①-②可得 ，故.20.（13分）（Ⅰ）因为底面，所以.由底面为长方形，有，而，所以平面.平面，所以.又因为，点是的中点，所以.而，所以平面.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以；由（Ⅰ）知，是鳖臑的高，，所以.在△中，因为，点是的中点，所以，于是21.（14分）（Ⅰ）由,的奇偶性及,①得：②联立①②解得，.当时，，，故③又由基本不等式，有，即④ （Ⅱ）由（Ⅰ）得，⑤，⑥当时，等价于，⑦等价于⑧设函数，由⑤⑥，有当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而（2），（3）即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得.22.（16分）（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；同理，当重合，即轴时，等号成立.所以椭圆C的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有. （2）当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即.①又由可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得.②将①代入②得，.当时，；当时，.因，则，，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.