（精校版）北京市文数卷文档版（有答案）-2015年普通高等学校招生统一考试.doc

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绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合A=｛x|□5＜x＜2｝，B=｛x|□3＜x＜3｝，则A□B=A.｛x|3＜x＜2｝B.｛x|5＜x＜2｝C.｛x|3＜x＜3｝D.｛x|5＜x＜3｝（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（A）（x-1）2+（y-1）2=1（B）（x+1）2+（y+1）2=1（C）（x+1）2+（y+1）2=2（D）（x-1）2+（y-1）2=2（3）下列函数中为偶函数的是（）（A）y=x²sinx（B）y=x²cosx（C）Y=|lnx|（D）y=2x（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）（A）90（B）100（C）180（D）300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300(5)执行如果所示的程序框图，输出的k值为 （A）3（B）4(C)5(D)6（6）设a，b是非零向量，“a·b=|a||b|”是“a//b”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(A)1（B）（B）(D)2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（A）6升（B）8升（C）10升（D）12升第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）复数i（1+i）的实数为（10）2-3,,log25三个数中最大数的是（11）在△ABC中，a=3,b=,A=，B=（12）已知（2，0）是双曲线=1(b>0)的一个焦点，则b=.（13）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是 三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知函数f（x）=（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值。（16）（本小题13分）已知等差数列{}满足+=10，-=2.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}满足，；问：与数列{}的第几项相等？（17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？（18）（本小题14分）如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB⊥平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC⊥BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点。（1）求证:VB//平面MOC.（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V-ABC的体积。 （19）（本小题13分）设函数f（x）=,k>0（I）求f（x）的单调区间和极值；（II）证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间（1，）上仅有一个零点。(20)(本小题14分)已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线 与直线.（1）求椭圆的离心率；（II）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（III）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。2015年普通高等学校招生全国考试 数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A（2）D（3）B（4）C（5）B（6）A（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）—1（10）log25（11）（12）（13）7（14）乙数学三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）因为所以的最小正周期为2.（II）因为0，所以.当，即时，取得最小值.所以在区间上的最小值为.（16）（共13分）解：（I）设等差数列的公差为.因为，所以.又因为，所以，故.所以.（II）设等比数列的公比为q.因为，，所以，.所以.由128=得.所以与数列的第63项相等.（17）（共13分）解：（I）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为.（II）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为.（III）与（I）同理，可得： 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。（18）（共14分）解：（I）因为O,M分别为AB，ＶＡ的中点，　　　　　　所以ＯＭ//ＶＢ.又因为ＶＢ平面MOC，所以VB//平面MOC.（II）因为ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ为AB的中点，所以OCAB.又因为平面平面，且平面，　　　　　　所以平面．　　　　　　所以平面平面．　　　（III）在等腰直角三角形中，，　　　　　　所以，．　　　　　　所以等边三角形的面积．　　　　　　又因为平面，　　　　　　所以三棱锥的体积等于．　　　　　　又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，　　　　　　所以三棱锥的体积为． （１９）（共１３分）　　　解：（Ｉ）由（k>0）得.由=0解得与在区间（）上的情况如下：—0+所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（II）由（I）知，在区间上的最小值.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当>e时，在区间上单调递减，且><所以在区间上仅有一个零点.综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.（20）（共14分） 解：（I）椭圆的标准方程为.所以.所以椭圆的离心率.（II）因为过点且垂直于轴，所以可设，直线的方程.令，得.所以直线的斜率.（III）直线与直线平行.证明如下：当直线的斜率不存在时，由（II）可知又因为直线的斜率，所以//.当直线的斜率存在时，设其方程为，设则直线的方程为令，得点.由得所以直线的斜率因为，所以，所以//.综上可知，直线与直线平行.