2022-2023学年高中数学湘教版2019选择性必修一模块综合测评Word版含解析

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模块综合测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022湖南长沙开福高二期中)过点(1,-1)且方向向量为(-2,3)的直线的方程为(　　)A.3x-2y-5=0B.2x-3y-5=0C.3x+2y-1=0D.2x+3y+1=02.(2022天津静海一中高二期中)若直线l1:ax-y+1=0与l2:x-ay-1=0平行,则l1与l2之间的距离为(　　)A.22B.3C.2D.23.已知数列{an}的通项公式an=1n(n+1),则它的前n项和Sn是(　　)A.n+1nB.nn+1C.n2n+1D.n+1n24.(2022湖北宜昌等四市高二期末)某县现招录了5名大学生,其中3名男生,2名女生,计划全部派遣到A,B,C三个乡镇参加乡村振兴工作,每个乡镇至少派遣1名大学生,乡镇A只派2名男生.则不同的派遣方法总数为(　　)A.9B.18C.36D.545.(2022黑龙江八校高二期中)过点(1,3)作圆x2+y2=10的切线,则切线方程为(　　)A.x+3y-10=0B.x=1或3x-y-10=0C.3x-y-10=0D.y=3或x+3y-10=06.(2022江苏徐州高二期中)已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底面直径AB=2010m,上底面直径CD=202m,AB与CD间的距离为80m,与上下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分的直径为(　　)14

1A.20mB.105mC.103mD.10m7.(2022河北邯郸八校高二期中)如图,把椭圆C:x236+y29=1的长轴AB分成6等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,P3,P4,P5,F是椭圆C的右焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=(　　)A.20B.153C.36D.308.设抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,过点F的直线交抛物线C于M,N两点,交直线l于点P,且PF=FM,则|MN|=(　　)A.2B.83C.5D.163二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=0,a4=8,则(　　)A.Sn=2n2-6nB.Sn=n2-3nC.an=4n-8D.an=2n10.(2022浙江宁波效实中学高二期中)以下说法正确的是(　　)A.若A(1,2),B(3,4),则以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)(x-2)+(y-3)(y-4)=0B.已知A(1,2),B(3,4),则线段AB的垂直平分线方程为x+y-5=014

2C.抛物线y2=2x上任意一点到M53,0的最小值为213D.双曲线C:x24−y25=1的焦点到渐近线的距离为511.(2022浙江A9协作体高二期中)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+9=0上,则(　　)A.两圆有且仅有两条公切线B.|PQ|的最大值为10C.两个圆心所在直线的斜率为-43D.两个圆相交弦所在直线方程为3x-4y-5=012.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线相互垂直,则椭圆C1的离心率可以是(　　)A.32B.23C.12D.45三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在x-3xn的展开式中,所有项的系数和为64,则n=　　　　. 14.(2022江苏常州三中等六校高二期中)若方程x2+y2+λxy+kx+3y+52k+λ=0表示圆,则k的取值范围是　　　　　. 15.(2022江苏海安高二期中)已知等比数列{an}的首项为-2,公比为q.试写出一个实数q=　　,使得an0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作圆x2+y2=a2的切线,交双曲线左支于点M,若∠F1MF2=45°,则双曲线的渐近线方程为　　　　　　　. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022福建三明三地三校高二期中)在2x2-13xn的展开式中,第3项的二项式系数为28.(1)求第5项的系数(要算出具体数值).(2)展开式中是否含有常数项?若有,请求出来;若没有,说明理由.14

318.(12分)在①已知数列{an}满足:an+1-2an=0,a3=8,②等比数列{an}的公比q=2,数列{an}的前5项和Sn为62这两个条件中任选一个,并解答下列问题.(注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=nan,数列{bn}的前n项和为Tn,若2Tn>m-2022对n∈N*恒成立,求正整数m的最大值.14

419.(12分)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到直线l:x-y-2=0的距离为322.(1)求抛物线的标准方程;(2)设点C是抛物线上的动点,若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4,求证:圆C恒过定点.14

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620.(12分)已知曲线C:x2-y2=1和直线l:y=kx-1.(1)若直线l与曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为2,求实数k的值.21.(12分)(2022重庆名校联盟高二联考)已知双曲线C与椭圆x212+y26=1有相同的焦点,P(-3,6)是双曲线C上一点.14

7(1)求双曲线C的方程;(2)记双曲线C的右顶点为M,与x轴平行的直线l与C交于A,B两点,求证:以AB为直径的圆过点M.22.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=3Sn+2,n∈N+.(1)证明:数列{Sn+1}为等比数列;(2)已知曲线Cn:x2+(19-an)y2=1,若Cn为椭圆,求n的值;(3)若bn=an2×log33an2,求数列{bn}的前n项和Tn.14

8参考答案模块综合测评1.C　过点(1,-1)且方向向量为(-2,3)的直线方程为y+1=-32(x-1),整理得3x+2y-1=0.故选C.2.C　当a=0时,直线l1:y=1,直线l2:x=1,显然不平行.当a≠0时,由直线l1:ax-y+1=0与l2:x-ay-1=0平行,可得a1=-1-a≠-1,解得a=1,所以直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0,所以l1与l2之间的距离d=22=2,故选C.3.B　因为数列{an}的通项公式an=1n(n+1)=1n−1n+1,所以Sn=1-12+12−13+…+1n−1n+1=1-1n+1=nn+1.故选B.4.B　依题意分两步,第一步,乡镇A派2名男生有C32=3种;第二步,剩下3人派给乡镇B,C有C32A22=6种,由分步乘法计数原理可知共有3×6=18种派遣方法,故选B.5.A　因为12+32=10,所以点(1,3)在圆x2+y2=10上.由切线与圆心(0,0)和点(1,3)的连线垂直,可得切线的斜率为-13,则切线的方程为y-3=-13(x-1),即x+3y-10=0.故选A.6.A　建立如图的坐标系,14

9由题意可知C(102,20),B(1010,-60),设双曲线方程为x2a2−y2b2=1,a>0,b>0,∴200a2-400b2=1,1000a2-3600b2=1,解得a2=100,b2=400,∴|EF|=2a=20.故选A.7.D　由题意可知P1与P5,P2与P4分别关于y轴对称,设椭圆的左焦点为F1,则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理|P2F|+|P4F|=2a,而|P3F|=a,所以|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=30.故选D.8.D　如图所示,过点M作MD垂直于准线l,由抛物线定义得|MF|=|MD|,因为PF=FM,所以|PM|=2|MD|,所以∠DPM=30°,则直线MN方程为x=3(y-1),联立x=3(y-1),x2=4y,消去x得3y2-10y+3=0,Δ=(-10)2-4×3×3=64>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),所以y1+y2=103,所以|MN|=y1+y2+2=103+2=163,故选D.9.AC　设公差为d,依题意S3=0,a4=8,即3a1+3d=0,a1+3d=8,解得a1=-4,d=4,所以an=4n-8,Sn=a1+an2·n=2n2-6n.故选AC.10.BCD　对于A,以线段AB为直径的圆的圆心为(2,3),半径r=12|AB|=2,故圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=2,故A错误.14

10对于B,直线AB的斜率为4-23-1=1,所以线段AB的垂直平分线的斜率为-1.又线段AB中点为(2,3),所以线段AB的垂直平分线方程为y-3=-(x-2),整理得x+y-5=0,故B正确.对于C,设抛物线y2=2x上任意一点Py22,y,所以|PM|=(y22-53) 2+y2=9y4-24y2+10036=9y4-24y2+1006=(3y2-4)2+846,当y2=43时,(9y4-24y2+100)min=221,所以|PM|min=2216=213,故C正确.对于D,由双曲线方程可得a=2,b=5,根据双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴的长可知D正确.故选BCD.11.BC　根据题意,圆C1:x2+y2=1,其圆心C1(0,0),半径R=1,圆C2:x2+y2-6x+8y+9=0,即(x-3)2+(y+4)2=16,其圆心C2(3,-4),半径r=4,圆心距|C1C2|=(-4)2+32=5=4+1,两个圆相外切,两圆有且仅有3条公切线,所以A错误;|PQ|的最大值为1+5+4=10,所以B正确;对于C,圆心C1(0,0),圆心C2(3,-4),则两个圆心所在的直线斜率k=-4-03-0=-43,所以C正确;对于D,因为两圆外切,所以不存在公共弦,所以D错误.故选BC.12.AD　设两切点分别为A,B,连接OA,OB,OP,依题意,O,P,A,B四点共圆.∵∠APB=90°,∴四边形OAPB为正方形,∴|OP|=2b,∴b<|OP|≤a,即b<2b≤a,∴2b2≤a2,即2(a2-c2)≤a2,∴a2≤2c2,即e=ca≥22.又0

11所以14k2-52k+94>0,解得k<1或k>9,即k的取值范围为(-∞,1)∪(9,+∞).15.12(答案不唯一,满足0

12两式相减得12Tn=12+122+…+12n-n·12n+1=12(1-12n)1-12-n·12n+1,即Tn=2-(2+n)12n.因为Tn+1-Tn=(n+1)12n+1>0,所以数列{Tn}为递增数列,最小值为T1=12.2Tn>m-2022对n∈N*恒成立,即m<2Tn+2022对n∈N*恒成立,所以m<2023,m的最大值是2022.19.(1)解因为x2=2py的焦点坐标为0,p2,由点到直线的距离公式可得-p2-22=322,解得p=2或p=-10(舍去),所以抛物线的标准方程是x2=4y.(2)证明设圆心C的坐标为x0,x024,半径为r,又圆C在x轴上截得的弦长为4,所以r2=4+x0242,所以圆C的标准方程为(x-x0)2+y-x0242=4+x0242,化简得1-y2x02-2xx0+(x2+y2-4)=0,对于任意的x0∈R,上述方程均成立,故有1-y2=0,-2x=0,x2+y2=4,解得x=0,y=2,所以圆C恒过定点(0,2).20.解(1)联立y=kx-1,x2-y2=1,消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.∵直线l与双曲线C有两个不同的交点,∴1-k2≠0,4k2+8(1-k2)>0,解得-2

13即2k4-3k2=0,∴k=0或k=±62.∴实数k的值为0,62,-62.21.(1)解设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),由已知得a2+b2=12-6=6,且9a2−6b2=1,解得a2=b2=3,∴双曲线C的方程为x23−y23=1.(2)证明设直线l的方程为y=m(m≠0),与x2-y2=3联立解得x=m2+3或x=-m2+3,不妨设A(-m2+3,m),B(m2+3,m),由(1)知点M(3,0),∴AM,BM的斜率存在且分别为kAM=-mm2+3+3,kBM=mm2+3-3,∴kAM·kBM=-mm2+3+3·mm2+3-3=-1,∴AM⊥BM,故以AB为直径的圆过点M.22.(1)证明∵Sn+1=3Sn+2,∴Sn+1+1=3Sn+3=3(Sn+1).又S1+1=a1+1=3,∴{Sn+1}是以3为首项,以3为公比的等比数列.(2)解由(1)可知Sn+1=3n,即Sn=3n-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1.显然当n=1时,上式也成立,故an=2·3n-1(n∈N+).∵曲线Cn:x2+(19-an)y2=1表示椭圆,∴19-an>0且19-an≠1.∴2·3n-1<19,2·3n-1≠18.又n∈N+,故n=1或n=2.(3)解bn=3n-1·log33n=n·3n-1.∴Tn=1·30+2·3+3·32+4·33+…+n·3n-1,①两边同乘3,可得3Tn=1·3+2·32+3·33+4·34+…+n·3n,②①-②可得:-2Tn=1+3+32+33+…+3n-1-n·3n=1-3n1-3-n·3n=12-n·3n-12,∴Tn=2n-14·3n+14.14