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1、直线与双曲线的位置关系瓯海二高数学组翁德旺一、教材分析直线与圆锥曲线位置关系的问题始终是解析几何的一个主要问题。是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材。二、教学对象分析高二学生逻辑思维有了一定的基础，已经学习了直线与圆、直线与椭圆的位置关系。三、学习目标掌握由于直线斜率的变化引起直线与双曲线位置关系的变化，主要方法：由直线方程与双曲线方程式组成的方程组，用判别式法判定根的个数即直线与双曲线公共点的个数，从而知道它们的位置关系。四、教学重点与难点及突破重难点的方法判别式法；基本量法利用多媒体，几何画板动画演示五、设计思想直线和圆锥曲线的位置关系是解
2、析几何教学中的一个重要内容。特别在研究直线与双曲线位置关系时，一些学生对直线与双曲线的交点个数认识模糊，认为可能有四个交点，三个交点…；若单纯从解析式的角度讲，由于缺乏感性认识，学生理解、接受有一定的困难。所以我在推导结论的基础上，利用多媒体进行演示，借助《几何画板》的强大功能，运用运动变化的观念，让学生在自主探究的过程中，直接观察、运动变化、归纳证明，在轻松的学习环境中激发潜能、体验成功，领会到数形结合解决问题的美妙。直线与双曲线的位置关系能够作这样的研究，那么直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系就更能轻易地解决了。六、教学内容师：已经学习了直线与圆、直线与
3、椭圆的位置关系，有相离、相切、相交、公共点的个数分别为无公共点、一个公共点、两个公共点。今天这节课，我们主要对过定点直线与双曲线的位置关系作一下探讨。而研究它们的位置关系时，常将直线方程与双曲线方程联立消元，得到一个一元二次方程，利用二次方程的判别式进行判断，最终归结为讨论一元二次方程解的个数问题。但要注意特殊情况的讨论。引入；已知双曲线C:，直线L过定点P(0，2)，试讨论直线L与曲线C的公共点个数。解：设过点P(0,2)直线方程为y=kx+2，联立消y得：当时，直线L与双曲线C只有一个公共点。当时，当时，解得：；当时，解得：当时，解得：或当斜率不存在时，
4、直线L与双曲线C无公共点。所以，当时，直线L与双曲线C有两个公共点；当或时，直线L与双曲线C只有一个公共点；当或或不存在时，直线L与双曲线C无公共点。师：解题需注意对二次项系数是否为零及直线斜率存在与否要进行讨论。接下来，我们先研究下与双曲线C只一个公共点的直线，共四条。这四条有何特征？生：两条是切线，两条是平行于渐近线的直线。强调:直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要非充分条件。师：若点P坐标为（m,n），双曲线方程为则直线与又曲线只有一个公共点的直线有多少条？与该点位置是否有关系？即探究1：已知双曲线，过点P(m,n)与双曲线只有一个公共点
5、的直线有几条?与该点的位置有何关系?生：结合图像，发现点与双曲线位置有三种关系：在双曲线内部（含焦点）、双曲线上、双曲线外。进一步分析点在双曲线外部也有三种情况：渐近线上（除原点）、在原点、及不在渐近线上。当点在双曲线上时,直线有三条.当点在双曲线外(不包括焦点的区域,除渐近线上及原点外)时,直线有四条.当点在渐进线上(除原点外)时,直线有两条；在原点时,这样的直线不存在当点在双曲线内(焦点所在的区域)时,直线有两条.师：动画演示点P在上述情况下，直线与双曲线只有一个公共点时，直线的条数。归纳总结：点P(m,n)的位置双曲线上(含焦点)双曲线内双曲线外(不含
6、焦点)除渐近线及原点在渐近线上(除原点)在原点直线条数三条两条四条两条不存在师：如果我们采用代数的方法来解决就会显得非常麻烦。可见数形结合，以形助数的思想方法在解析几何解题中显得非常重要。我们发现过定点与双曲线只有一个公共点的直线条数情况不同，跟点的位置有关！师：对于上述情况，其他的圆锥曲线又有怎样的结论？（简单研究椭圆与抛物线情况）刚才是对直线与双曲线只有一个公共点情况的研究，那么当直线与双曲线有两个交点时，又有哪些问题可以研究的呢？拓展1:已知双曲线C:,直线L过点P(0,2)；若直线L与双曲线C的左支有两个公共点，求直线斜率的取值范围？拓展2:已知双曲
7、线C:,直线L过点P(0,2)；若直线L与双曲线C的右支有两个公共点，求直线斜率的取值范围？拓展3:已知双曲线C:,直线L过点P(0,2)；若直线L与双曲线C的两支有两个公共点，求直线斜率的取值范围？分析上述解题思路，列出方程组，考虑两根正负问题利用韦达定理。具体解答学生回来完成。探究2:过双曲线的右焦点F作直线L交双曲线于A、B两点，若
8、AB
9、=8，则这样的直线L有几条？学生思考方法，老师用几何画板演示，关键是考虑右支有两个交点时，最短的弦是垂直与x轴的，当左右各一个交点时，最短弦是实轴2a，只用将
10、AB
11、=8与最短的弦比较就容易得出答案是3条。师：若将
12、
13、AB
14、=8改为6或者9，以及其他数呢？答案如何？师：
