截交线和相贯线

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第4章截交线和相贯线本堂教学内容：4.1平面体的截交线4.2回转体体的截交线4.3两回转体体的相贯线重点：截交线求法1

1生产中一些零件的外形可以看成是基本体被平面切割后所形成的。要绘制切割立体的投影图，就应掌握截交线的画法。2

2平面基本体截交线平面体本节重点：截交线求法回转体平面与基本体相交平面体的截交线3

3截切——用一个与立体相交的平面，截去立体的一部分。截平面——用以截切立体的平面。截交线——截平面与立体表面的交线。截断面——因截平面的截切，在立体上形成的平面。截断面截交线截平面平面体的截交线一、平面体截交线及其性质4

4平面体截交线性质共有性截交线是截平面和平面体表面的交线，所以是截平面和平面体表面的共有线。封闭性由于平面体是由平面围成的封闭实体，所以截交线必是一封闭的平面图形，即为截平面与平面体表面的交线所围成。3多边形的边数=切到立体的面数（棱数）5

5二、平面体截交线的求法求作截交线的实质是找点。只要求出各棱线与截平面的交点的投影，然后依次连接各点的同面投影。即得截交线的投影。当截平面处于特殊位置时，截交线的投影就重合在截平面有集聚性的那个投影上，即截交线的这面投影为已知，于是就可利用我们熟悉的平面体表面上取点和线的方法来求做截交线的其余投影。截断面截交线截平面6

6⒈求截交线的两种方法：★求各棱线与截平面的交点→棱线法。★求各棱面与截平面的交线→棱面法。关键是正确地画出截交线的投影。求作截交线的实质是找点。⒉求截交线的步骤：☆截平面与体的相对位置☆截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性确定截交线的形状★空间及投影分析★画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。7

7ABCP课本例4-1三棱锥被一正垂面所截割，求切去顶部后三棱锥的水平投影和侧面投影。先求棱锥侧投影求截交线a"c"b"acba'b'c'截交线求法截平面棱线=交点棱线法8

84•例：求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。分析：截平面为正垂面截交线的正面投影积聚为直线。截平面与四条棱线相交，从正面可直接找出交点。1'1"2"2'(4')3'3"作出各对应点的投影，依次连接各点。补全棱锥体的外形投影。4"132•9

9被截切后的投影图：10

10例：正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。分析：由图可知，截交线的正面投影积聚为一直线。水平投影，除顶面上的截交线外，其余各段截交线都积聚在六边形上。1'12'（3'）234'（5'）451"2"3"4"5"6'（7'）676"7"ⅡⅤⅦⅠⅢⅣⅥ●●●●●●●11

11完成后的投影图12

12课本例4-2鲁东课件C31.Ppt分析2.Ppt步骤3.鲁东13

13课本例4-31ppt；2鲁东xt316.314

14课本例4-4：作四棱柱被截切后的投影。a'(b')baa"b"分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面，截平面与棱线的交点均在棱面的投影上。此题还应作出两截平面的交线AB的投影。••BAⅠ1'ⅡⅢ2′(3′)2〞3〞ⅣⅤ5〞4〞4′(5′)15

15完成后的投影图16

16例四棱柱被P、Q截切，求侧投影P为正垂面，p"、p为类似图形p"为四边形投影分析Q为铅垂面，q"、q'为类似图形q"为五边形PQ按“三等”关系作图p'pqq'p"q"12341'4'3"4"1"2"求p"求q"5'6'7'5(6)(7)5"6"7"（2'）（3'）●●●●●●●ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ●●●●●●●●●17

17平面体与平面体相交的作图步骤1.想清形体的形状形体摆放位置2.确定形体是如何截切截平面空间位置3.判断截交线的边数及形状多边形的边数=切到立体的面数和棱线有几个交点4.利用面形法画图截切平面与各棱线的交点5.补全视图，判断可见性小结18

184.2回转体的截交线19

194.2回转体的截切一、回转体截切的基本形式截交线的性质：截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是封闭的平面图形。20

20二、求平面与回转体的截交线的一般步骤⒈空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，予见未知投影。⒉画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。☆先找特殊点，补充中间点。21

21曲面立体和平面相交，必有交线——截交线既在平面上，又在曲面上。截平面曲面立体截交线平面与回转体相交22

22截交线的性质截交线是截平面与曲面立体的共有线，截交线上的点是截平面与曲面立体的共有点。截交线是封闭的平面曲线。23

23回转体截交线的求法可归结为求回转面上一系列被截素线或纬圆与截平面的交点，再依次光滑连接这些点的同面投影。当截平面处于特殊位置时，截平面的具有积聚性的投影必与截交线在该投影面上的投影重合。这相当于知道了截交线的一个投影，其余的投影可用回转体表面定点的方法作出。回转体表面定点的方法有素线法和辅助平面法（纬圆法）两种。24

24素线法：利用回转体上素线求解，该素线与截平面相交其交点为共有点。圆柱、圆锥用该法好解。25

25辅助平面法利用三面共点原理。辅助平面P截平面Q用P平面作辅助平面，P与Q有交线，而该交线与曲面立体表面有两交点——截交线上的点。26

26截交线作图步骤分析截交线的形状。求截交线的特殊点，这些点的投影确定了截交线投影的范围。应求出以下点：截交线自身的特殊点（如椭圆的长、短轴端点，抛物线、双曲线顶点），回转体各面外形线与截交线的交点。求适当的一般位置点，一般1-2点即可。按可见性依次光滑连接各点的同面投影。27

27平面与圆柱体相交P轴线截交线为圆P//轴线截交线为矩形P轴线截交线为椭圆PPP28

28例、如图所示，圆柱被正垂面截切，完成三视图。平面与圆柱相交1'16'（7'）8454'（5'）1"4"5"22'（3'）2"6736"3"7"ⅠⅣⅧⅤⅡⅥⅦⅢ8'8"29

29截交线的已知投影？●●●●●●●●●●●●例：求左视图★找特殊点★补充中间点★光滑连接各点★分析轮廓素线的投影截交线的侧面投影是什么形状？截交线的空间形状？30

30例：求左视图★找特殊点★找中间点★光滑连接各点★分析轮廓素线的投影31

31椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。45°什么情况下投影为圆呢？截平面与圆柱轴线成45°时。32

32比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。平面与圆柱相交﹥45°﹤45°=45°33

33例34

34例:求圆柱被截切后的俯左视图.分析:该圆柱被侧平面截切后,侧面投影为矩形;被水平面截切后,水平投影为圆.轮廓线要不要？35

35例求圆柱体被平面P、Q截切后的投影PQ截交线分析P//圆柱体轴线，P圆柱面交线为直线Q圆柱体轴线，Q圆柱面交线为椭圆曲线非圆曲线画法找特殊点中间点光滑连接曲线检查外形轮廓线投影p'q'36

36若增加圆柱孔结果将如何？内、外交线分别求解求外表面交线求内表面交线检查孔的外形轮廓线投影注意检查孔的外形轮廓线投影截平面与孔的交线检查交线无线!37

37yyyy圆柱切割体123()45()()67751463579()89()98268()143238

38圆柱切割体39

39平面与圆锥体相交PP轴线交线为圆PP轴线>交线为椭圆平面P与圆锥面的交线40

40P轴线=交线为抛物线PPP轴线0<交线为双曲线平面P与圆锥面的交线41

41平面P与圆锥面的交线PP过锥顶交线为直线P轴线交线为椭圆P轴线>P轴线=P轴线0<交线为抛物线交线为双曲线P过锥顶交线为直线交线为圆归纳42

42例求截交线截交线分析截交线为椭圆椭圆画法是什么点？椭圆短轴的投影截交线投影分析特殊点中间点光滑连接曲线交线可见性PP截交线投影仍为椭圆检查外形轮廓线投影外形轮廓线终止点截交线投影虚实分界点43

43㈢球体的截切平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。44

44当截交线平行于某一投影面时，截交线在该投影面内的投影为圆，当截交面垂直于某一投影面时，截交线在该投影面内的投影为直线段，当截平面倾斜于投影面时，截交线在该投影面内的投影为椭圆。平面与球体相交平面与圆球体相交其截交线均为圆45

45球体被平面所截，截交线均为圆。由于截平面的位置不同，其截交线的投影可能为直线、圆或椭圆，直线真形椭圆46

46例PQP面交线的H投影为圆弧曲线投影分析Q面交线的W投影为圆弧曲线47

47例:求圆球被截切后的俯、左视图48

48例：已知顶尖被截切后的主、左视图，求俯视图。a'••b'(c')•aa"••b"c"••b•cd'e'•d"e"e••df'••f"•fg'h'••g"•h"•gh•综合举例49

49小结基本体的投影注意:曲面体（回转体）重要的投影规律—“三等”规律长对正，高平齐，宽相等—外形轮廓线投影的对应关系整体、局部50

50求截交线的本质—求截平面与立体的共有点立体的形状截平面相对于立体的位置截交线的形状取决于截交线投影的形状取决于截平面相对于投影面的位置51

51截平面与立体的相交形式单体单面基本形式单体多面多体多面分别分析单面与单体交线截平面与截平面之间的交线分析体与体连接处的交线分析52

52求截交线的基本方法步骤定性分析截交线的形状分析与投影分析截交线画法平面体棱线法回转体非圆曲线找特殊点找中间点光滑连线并判断可见性53

53回转体外形轮廓线投影的检查检查方法类似图形检查“三等”关系检查检查什么孔的交线问题孔的外形轮廓线54

54§4—3两回转体表面的交线—相贯线一般将相交的立体称为相贯体，而相交立体的表面交线则称为相贯线。图中显示了几种不同类型的相贯体。绘制相交立体的投影图一定要掌握相贯线的画法。55

55平面体与回转体相贯回转体与回转体相贯多体相贯1.相贯的形式两回转体相贯线的形状取决于两回转体的几何形状、相对位置和它们的大小。本章主要讨论常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。56

56图例：全贯互贯平×曲柱柱正交柱柱偏交锥穿柱柱穿锥球柱偏交球柱正交柱柱正交(等径)孔孔正交57

572.相贯线的主要性质其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。★共有性★表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线是两立体表面的共有线。★封闭性相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。58

581.相贯线的性质相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。3.2回转体与回转体相贯2.作图方法求出相贯线一系列点的投影，然后根据点的可见性依次光滑连接它们的同面投影。表面取点法辅助平面法59

59分析两相贯回转体的形状特征、相对位置，确定求作的方法。找特殊点。这些点为相贯线的最高、最低、最左、最右、最前、最后点。补充中间点。求特殊点之间的若干点，一般1-2点。判断可见性，依次光滑连接各点的同面投影。⒊作图过程确定交线的范围确定交线的弯曲趋势60

60本节需要掌握内容：★圆柱与圆柱相贯★圆柱开孔★圆台与圆柱相贯★圆柱（圆台）与球相贯61

61当D1＜D时，相贯线正面投影为上下对称的曲线。当D1＞D时，相贯线正面投影为左右对称的曲线。★圆柱与圆柱相贯1.两圆柱直径不等正交2.两圆柱直径相等正交62

62圆柱开孔会在其表面上产生与两圆柱相交形状相同的相贯线，因形状相同故求作方法也相同。★圆柱开孔63

63当D1=D时，相贯线正面投影为两条相交直线。64

64两正交圆柱相贯线的变化趋势65

65轴线平行的两圆柱的相贯线是两条平行的素线。66

66表面取点法：当立体表面的投影具有积聚性时，表面上的所有点的投影均在立体的积聚性投影上。表面取点法即是利用立体表面的积聚性投影求作相贯线上点的方法。此法适用于两相贯回转体中至少有一个是圆柱且垂直于某一投影面的情形。当立体表面的投影具有积聚性时，表面上的所有点的投影均在立体的积聚性投影上。作图方法：★取特殊位置点；★作一般位置点；★判断点的可见性并连接67

671"(2")•。例：求两圆柱正交的相贯线。a'•b'•a•b••c"d"••c'(d')•cd•1••2•1'•2'（1）求特殊点：（2）求一般点：(3)光滑连相贯线a"(b"•辅助平面P1268

68课本例4-14：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。●●●●●●●●空间及投影分析：小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。求相贯线的投影：利用积聚性，采用表面取点法。☆找特殊点☆补充中间点☆判断可见性，光滑连接69

69两回转体表面的交线—相贯线相贯线的近似画法：若上例两相贯的圆柱直径相差较大时，也可采用近似画法作出相贯线，即用一段圆弧代替相贯线。以大圆柱的半径为圆弧半径(D＞D1、R=D/2),圆心位于小圆柱轴线上，作图过程如图示。70

70辅助平面法作图分析：在适当位置作一辅助平面截切两相交立体，便会在两立体的表面上产生截交线。因两截交线共面，其交点便为两立体表面的共有点，即为相贯线上的点。按此方法作出若干辅助平面便可得到相贯线上的一系列点，依次连接各点就可作出相贯线的投影。选择辅助平面的原则：为方便作图应使辅助平面与两回转体的交线形状为最简单的直线或圆。71

71辅助平面的选择原则：辅助平面的位置应取在两回转体相贯的范围内。辅助平面与两回转体表面的截交线的投影要简单易画，例如直线或圆。对圆柱，辅助平面应平行于圆柱的轴线，但当圆柱的轴线垂直于某一投影面时，也可垂直于轴线；圆锥时，应通过锥顶，当圆锥的轴线垂直某一投影面时，也可垂直轴线；圆球，应平行于投影面。72

72例2：圆柱与圆台相贯，求其相贯线的投影。假想用水平面P截切立体，P面与圆柱体的截交线为两条直线，与圆台面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。P●●●●73

73●●●●●●●●●●●●●解题步骤：★求特殊点★用辅助平面法求中间点★光滑连接各点74

74§4—3两回转体表面的交线—相贯线两相交圆柱相贯线的常见情况：3.两圆柱孔相交当两圆孔相交时会在内表面上产生相贯线，由于不可见而应画成虚线。75

75例3交线分析封闭的空间曲线投影分析交线的H、W投影已知求V投影投影作图特殊点中间点光滑连接曲线PW检查外形轮廓线投影辅助平面法PH76

762.圆柱与圆锥相交1"b"2"3"a"c"4"d"1’2’,(4’)b’,(d’)a’,(c’)3’d4(a)1b2(3)QWRWPW(c)77

77注：圆柱与球相贯当圆球与圆柱同轴且轴线平行于V面，则相贯线圆在V面上的投影积聚为直线。如是圆球开孔，相贯线同前面分析相同。圆球与圆锥相交，其相贯线同前面分析的情况相同。78

78例：求圆台与半球的相贯线。作图分析：由于两立体的三个投影都没有积聚性，故需补出相贯线的三面投影。可过圆台轴线作一侧平面辅助面求得两特殊点，另作一水平面辅助面求得相贯线的中间点。79

791'616"1"6'PvPw4"5"45QvQw2"3"234'（5'）2'（3'）辅助平面P例、求圆柱与半球相贯线主俯视图80

80例：求圆柱和圆锥相贯线的主俯视图。a'••b'a"••a•b"b•d••cc'd'••c"d"••12••1"2"•1'2'••3"4"••3•4•3'4'81

81圆柱与圆锥相贯线的变化趋势82

82三、相贯线的特殊情况一般情况下相贯线为封闭的空间曲线，而特殊情况的相贯线则为平面曲线或直线。图中两圆柱轴线相交并与V面平行，故相贯线为垂直于V面的两椭圆。即主视图中两相交直线。83

8384

84两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，但特殊情况下可能是平面曲线或直线。相贯线的特殊情况85

852.两同轴回转体的相贯线是垂直于轴线的圆。图中圆球与圆柱同轴且轴线平行于V面，则相贯线圆在V面上的投影积聚为直线。如是圆球开孔，相贯线同前面分析相同。下图为圆球与圆锥相交，其相贯线同前面分析的情况相同。86

86两曲面体有一个公共轴线时，它们的相贯线都是平面曲线——圆。圆柱与圆锥共轴圆柱与球共轴相贯线的特殊情况87

87当两个曲面体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆88

88综合相贯若干立体相交构成一形体的情况即为综合相贯。作多个相交立体的相贯线应注意的问题：1.分析各相交立体的形状和位置2.确定每两个相交立体之间的相贯线的形状3.根据上述分析确定求作相贯线的方法89

89例：完成相贯体的正面投影和侧面投影。作图分析：该立体由半球、小圆柱、大圆柱以及长圆形凸台组成。长圆形凸台与半球和小圆柱左边部分的相贯线为特殊情况，右边与大小圆柱间的相贯线为空间曲线。并与大圆柱左端面相交产生两条平行线。90

90四、综合相贯例：完成相贯体的正面投影和侧面投影。作图步骤：91