《李群与李代数》讲义-李世雄编著

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Lie群与Lie代数简介安徽大学数学系李世雄20019

1Lie群与Lie代数-1-一引言Lie群和Lie代数的理论是近代数学中的一个重要分支是挪威数学家M.S.Lie1842-1899在十九世纪后期创建的由于受LagrangeAbelGalois等学者用群论方法研究代数方程求解问题得到巨大成功的启发Lie提出了用变换群的方法来研究微分方程的求解问题及用无穷小变换来研究变换群的方法近代的Lie群与Lie代数理论就是在Lie的开创性工作的基础上发展起来的群变换群的概念起源于对几何图像对称性的研究虽然历史悠久但未成为一种解决问题的系统方法这一情况到了十八世纪后期才发生了本质的变化法国数学家J.Lagrange(1736-1813)在研究代数方程求解问题时认识到根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在开创了用置换群的理论来研究代数方程求解问题的新阶段在此基础上挪威数学家N.H.Abel(1802-1829)与法国数学家E.Galois(1811-1832)发展和应用了群论的方法彻底解决了代数方程用代数方法求解问题关于这方面的进一步介绍有兴趣的学者可以参看附录1用根的置换理论解二三次代数方程与代数方程有关的置换群是有限群即由有限个元素构成的群对这种群的研究纯属代数问题而Lie引进的与微分方程有关的变换群则是由有限个连续参数所确定的变换所构成的无限群这种确定群的元素的连续变化的参数可以看成广义的坐标所以Lie研究的变换群除了群的结构外还具有流形的结构其元素可以看成是流形上的点关于流形的概念可参看李世雄.波动方程的高频近似与辛几何.第四章因而Lie群是代数几何与分析的有机结合其理论和方法对近代数学的许多分支有重要的影响和作用

2Lie群与Lie代数-2-二Lie群的概念群的定义设G是一个集合若满足下列4个条件则称G为一个群Group1G中有一种对应规则通称为乘法对G中任意二元素ghG,∈对应G中的一元素k称为g与h之乘积记为kgh=D(或gh)此性质称为群的乘法的封闭性2乘法满足结合律对G中任意三元素ghk,,满足()ghk=ghk()3G中存在一个幺元e使对G中任意元素g均有ge==egg−1−−114G中每一元素g均存在一逆元g使gg==gge群的乘法一般不满足交换律若一群G的任意两个元素的乘法均可交换gh=hg∀∈ghG,则称G为可交换群或Abel群子群设G为一群H为G的一个子集()HG⊆若H也是一个群按照G中的规定的乘法则称H是G的子群例1全体实数<或复数-对加法构成一Abel群此时群的乘法就是普通的加法设E表示有理数全体则E是<的子群设V表示全体偶数则V是E的子群当然也是<的子群问题无理数全体或奇数全体是否<的子群例2全体实数除去零<或全体复数除去0-对乘法构成一Abel群这时群00的乘法就是普通的乘法问题全体实数<或全体复数-对普通的乘法运算不构成群这是为什么例3Gi=−−{1,1,,i}对复数乘法运算构成一有限Abel群这里1是G的幺元-1的逆元就是-1i与-i互为逆元例4行列式不为零的n阶实矩阵全体对矩阵乘法构成一群n阶全线性群记为GL(n,R)2它的元素由n个独立实参数所确定按照下面将要给出的定义可见

3Lie群与Lie代数-3-GL(n,R)2是一个n维不可交换Lie群例5行列式为1的2阶实矩阵全体对矩阵乘法构成一群二阶实特殊线性群SL2abR因为二阶实矩阵由四个实数abcd,,,构成由于行列式为1的要求cd使他们必须满足条件ad−=bc1所以SL(2,)R中的元素由3个独立的实参数所确定按照下面将要给出的定义可见SL(2,)R是一个三维不可交换Lie群而且它是GL(2,)R的子群例6行列式为1的n阶实矩阵全体对称矩阵乘法构成一群n阶特殊线性群2SLnR(,)这是一个n−1维不可交换的Lie群而且是GLnR(,)的子群例7行列式不为0的n阶复矩阵全体对矩阵乘法构成一群n阶复全线性群GLnC(,)行列式为1的n阶复矩阵全体对矩阵乘法构成一群n阶复特殊线性群22SLnC(,)GLnC(,)是2n阶不可交换Lie群SLnC(,)是22n−阶不可交换Lie群显然GLnR(,)与SLnC(,)都是GLnC(,)的子群SLnR(,)是SLnC(,)的子群上面我们所举的群的例子除例1外其元素均为矩阵实数或复数可看成是一阶矩阵运算法则均为矩阵乘法这种群称为线性群线性群是最重要的也是最有代表性的一类Lie群今后在应用中遇到的Lie群基本均为线性群可以说掌握了线性群也就基本上掌握了Lie群下面我们来给出Lie群的定义Lie群的定义设G是一个r维流形同时G又是一个群其幺元记为e因e又是流形G中的一点所以可取定一个包含e的局部坐标邻域U在U中取定坐标系{,}Uϕ设取e为坐标原点ϕ=()(0,0,,0)e"(2.1)对U中的三元素ghk,,设其坐标分别为

4Lie群与Lie代数-4-ϕ()(,,,),gx=xx"12rϕ()(,,,),hy=yy"(2.2)12rϕ()(,,,).kz=zz"12r则群的乘法kg=h可以用相应的坐标来表示zfxxyy=(,,;,,),""111rr1zfxxyy=(,"",;,,),(2.3)221rr1•"""""geU•zfxxyy=(,,;,,).""rr11rrϕ()guu,"(2.3)在不致引起混淆时可简记为2rGϕzfxy=(,)ϕ()U•我们要求这r个函数ff,,,"f是无限次12ruO1可导的即光滑的这r个函数ff,,,"f称12r为G的乘法函数它完全确定了群G的结构ϕ()e这样的群G就称为一个r维Lie群图2.1乘法函数的基本性质1因为幺元e的坐标为(0,0,",0)所以ex==xex用坐标表示出来就是fx(,"",x;0,,0)==f(0,"",0;,x,xxj)=1,2,",r(2.4)jr11jrj这一关系可简记为fx(,0)==fxx(0,)2群的乘法满足结合律的要求()ghk=ghk()用坐标表示出就是ffxxy((,;,,)""""""y,,(fxxy,;,,)yz;,,)zjr111rr1r1rr1=fxxfy(,;(,,;,,)"""yzz,,(,,;,,)"""fyyzz)jr1111rrrrr11jr=1,2,",.(2.5)这一关系可简记为ffxyzfxfyz((,),)=(,(,)).−1−13G的每一元素g都有唯一的逆元g设g的坐标为(,xx")则关系式1r−−11gg==gge用坐标表示出就是

5Lie群与Lie代数-5-f(,,;,,)(,,;,,)0xx""xxf==xx""xxjrr11jrr11(2.6)jr=1,2,",.这一关系可简记为fxxfxx(,)==(,)0.直接用乘法函数来研究Lie群是相当困难的复杂的Lie的重要贡献在于引进了无穷小变换的概念使问题大为简化这就是在后面要介绍的Lie代数的理论我们先用一些比较简单的Lie群来阐明上面引进的有关Lie群的一些概念exx12例8Tx=∈,x<这个群的元素由二个独立实参数xx,所决定所2121201以T是一个二维流形现在来验证T满足群的要求221先来验证封闭性exeyexy11x1eeyxy1x1+2222=010101eexx12+x1y+xezz1222==∈T20101我们可以将T的乘法函数具体写出2zfxxyyxx==(,;,)+,11121212(2.7)zfxxyyeyx==(,;,)x1+.22121222显然函数ff,是无限次可微的122因T之乘法就是矩阵的乘法当然满足结合律不必再验证20e0103易见=是T的幺元211014ex−−xx11−−eexexx1x1ex−−xx11e2222∵=0101010110=01

6Lie群与Lie代数-6-exx1ex−−xx11−e22所以的逆元为.0101因为exeyxy11eyx1+y1exx1+2222==,010101eyexyx11exx1+y1eyy1+2222又==.010101可见T是一个二维不可交换的Lie群2例9绕固定轴的旋转群SO(2)其元素g()θ可用一参数转动角θ来确定这里θ的取值范围为[0,2)π群的乘法规定为相继作二个转动即将相应的参数相加但若相加之和大于2π时应减去2π使参数值仍保持在[0,2)π之中因转2π角度等于不转动所以参数减去2π对转动之结果不影响gg()()()θθ=gθz1212g()θ这里θθθ=+(mod2)π1212容易验证T是一个一维可交换Lie群2Oyθ我们也可以用矩阵线性变换的形式来表示x(,)xy′′SO(2)xx′cosθθ−sinxg()θ(,)xy→=yy′sinθθcosy图2.2(2.8)xycosθθ−sin=xysinθθ+cosK例10三维旋转群SO(3)三维空间绕固定点的一个转动gS∈O(3)可用单位向量n表K示其转动轴OP的方向一实数θ表示绕OP轴转动的角度于是g可用(,)nθ来K确定由于空间单位向量n由二个独立参数确定所以SO(3)的元素由三个独立参数所确定因空间任意转动可用绕某一轴绕顺时针方向转动一个角度θ(0≤≤θπ)来完成所以SO(3)可以用一个以π为半径的球来表示此球内的一点Q表示一个

7Lie群与Lie代数-7-zPzθKnQOOyyxx图2.3图2.4JJJK绕OQ为轴转动角度为OQ的转动但要注意此球面上的对径点对应的是群KKKSO(3)的同一元素即(,)nπ与(,)−nπ表示同一转动这里n为任意单位向量000所以我们可以用一个半径为π并将球面的对径点叠合起来的球来表示SO(3)这z样的模型对研究群SO(3)的整体构造非常有用利用这一模型不难证明x′z′θSO(3)作为一个流形不是单连通的ϕy但对处理一些实际问题却很不方便OKψ通常对SO(3)我们习惯用Euler角ly′(,,)θϕψ来描述一个转动见图2.5x图2.5g(,,)xyz→(,,)xyz′′′用矩阵形式表出gggxgggx′111213111213ggggygggy==,′(2.9)212223212223gggzgggz′313233313233现在用Euler角来表示出gi,,1j=,2,3.ij由(2.8)知cosϕϕ−sin0100ϕθg=sinϕϕcos0g=−0cosθθsinzx0010sinθθcos

8Lie群与Lie代数-8-cosψψ−sin0ψg=sinψψcos0z001ϕ(这里g表示绕z轴转ϕ角"z于是coscosψϕθψϕ−−cossinsincossinψϕθψϕψθ−cossincossinsinψθϕgggg==+sincosψϕθψϕcossinsin−+sinsinψϕθψϕcossincos−cossinψθzxzsinsinϕθcossinϕθcosθ(2.10)因此SO(3)的元素也可由(,,)ϕθψ三个独立参数坐标确定不难验证SO(3)是一个三维不可交换Lie群为了便于今后将SO(3)推广到n维的情况我们在介绍另一种刻划SO(3)的方法三维欧氏空间<的内积3xxxx==(,,),yyyy(,,)1231233<>xy,=∑xyjj=++xyxyxy112233(2.11)j=1gggx1112131g线性变换gg=()x→==xg′xgggxij2122232gggx3132333gS∈⇔O(3)<>gsg,y=<>xy,∀xy,∈<且detg>0(2.12)3t通过直接计算不难验证<>gxgy,,=<>xggytt这里g表示g之转置即gg=ijjit由=∀xy∈R3100t即得ggI=这里I=010单位矩阵001tt所以gS∈⇔==O(3)ggggI,detgo>.(2.13)

9Lie群与Lie代数-9-tt仅满足gggg=的线性变换所构成的群称为O(3)正交群SO(3)也称为特殊正交群tt3阶矩阵g共有9个元素实参数条件gg==ggI具体写出来共有6个方程要满足3∑ggijij==1,i1,2,3j=1(2.14)3∑ggijkj=<0,ik.j=1所以gij(,=1,2,3)9个元素中可以选取3个作为独立参数这又一次阐明了SO(3)是ij一个三维Lie群例11n维特殊正交群SOn()n维欧氏空间<的内积nxxx=(,,)"yyy=(,,)"1n1nn<>xy,=∑xyjj(2.15)j=1gg11"1ngg"ggg==212n()xxg6′=xij"""gg"nn1nxxggx111′11"n1##ggg"#6=212n(2.16)##"""#xg′"gxnxn1nnnng∈⇔SOn()<>gxgy,=<>xy,,∀xy,∈<,detg>0(2.17)nt因<>gxgy,,=<>xggytt所以gS∈⇔==Onggg()gI,detg>0(2.18)tt这里g为g的转置即gg=jkkj

10Lie群与Lie代数-10-不难验证SOn()是一个nn(1−)/2维不可交换Lie群若仅要求gggg′′==I而不要求detg>0这样的群称为正交群并记为On()即ttgOnggggI∈⇔==()(2.19)On()也是一个nn(1−)/2维不可交换Lie群

11Lie群与Lie代数-11-三指数映射与单参数子群前面我们已提到了群的乘法一般不可交换线性群的元素是线性变换矩阵矩阵的乘法一般不可交换所以Lie群用以刻划其乘法规则的乘法函数是比较复杂的直接用乘法函数来研究Lie群是走不太远的Lie的重要贡献在于引进了无穷小变换的概念并证明了Lie群的主要特征局部性特征都可以通过无穷小变换来刻划也就是说要研究Lie群在幺元附近的性质只要研究其相应的无穷小变换就可以了而无穷小变换也就是Lie代数它是一个有特殊结构的线性空间对它的研究当然要比直接研究Lie群方便简单得多在讨论Lie代数以及Lie代数与Lie群的关系之前我们先来介绍一下有关的重要概念及其性质在今后我们只讨论线性群因此群的元素总是矩阵群的乘法一定是矩阵的乘法指数映射我们知道即使是一阶矩阵数其乘法运算也要比加法运算复杂熟知的指数和对数运算就将较复杂的乘法运算转化为较简单的加法运算若ye=x1ye=x2则12yy==eexx12exx12+12这样就把y与y的乘法转化为x与x的加法而x与y的关系又可用对数函数联系起1212来xylog即若xy=log则yee==现在要问上面将数的乘法转化为加法的方法能否推广到矩阵的乘法回答是原则上是可以的但问题要复杂得多首先来定义矩阵的指数函数与对数函数在微积分中我们知道可用幂级数来定义指数和对数函数∞kn2xxxxxex===exp()∑1+++""++−,(∞

12Lie群与Lie代数-12-设O是零矩阵一切元素均为0的矩阵则显然有OeO==exp()I.0−xA又若Ax=∈,<现在来计算ex02345−x00xx00−x2345A=,A=A=A="23450−x−x00xx023100−x11−xx00AexpAe==++++2301x02!00−−xx3!4511xx00−+++"454!00xx5!357xxx再利用sinxx=−+−+"3!5!7!246xxxcosx=−+−+1"2!4!6!即得cosxx−sinexpA=sinxxcosAB现设Xe=Ye=由于矩阵的乘法一般不可交换显然对实数成立的公式abab+AB()()AB++BABAee=e对矩阵一般是不成立的因为否则XYee=====eeeeYXAB()AB+但若A与B的乘法可交换AB=BA则有ee=e(3.2)证23()AB+()()AB++ABeI=+++()AB++"2!3!223223ABAABABB=+++++++IABAB+++"226226这里利用了2ABBAAB=⇒+=++()()ABAB()2222=+++=++ABAABBAABB2

13Lie群与Lie代数-13-2323ABAABBee=++++()IA""()IB++++2!3!2!3!223223ABAABABB=+++++++IABAB+++"226226()AB+AB故得ee=e证毕A利用上面的结果容易证明设A为任意n阶矩阵则det(e)≠0这里因为A与−A可交换所以0AA−−AAAA−Iee===eedet()Ie=⇒det(e)AA−A1(det(=ee))(det)∴dete≠0.tA又若A为任一实反对称矩阵即AA=−.则eO∈()n(3.3)tt0()AA+AAAAtA这是因为Iee===eeee=()由(2.18)知eO∈().n−1−−11若B为非奇矩阵即detB≠0故存在B使BB==BBI.易证−1BABA−1eB=eB.(3.4)−−11nn−−−111这是因为()BAB==()BAB()BAB"()BABBAB−−−111BCDB()+=+BCBBDB再利用exp之定义3.1−1BABA−1即得eB=eB.对数映射在微积分中我们利用幂级数定义对数函数234(1xxx−−−)(1)(1)logxx=(−1)−+−+"234x−<11.对n阶矩阵A我们也可以定义其对数映射为234()()()AI−−−AIAIlogAAI=(−)−+−+"(3.5)2341为了保证(1-24)右方级数的收敛要求矩阵IA−之每一元素之绝对值均小于也就n

14Lie群与Lie代数-14-是说要求A是与幺元I邻近的元素xalogx在微积分中熟知e与logx互为反函数logea=ex=对矩阵的指数与对应映照也有类似的关系式设X与I邻近A与O邻近则有Aloge=A.(3.6)logXeX=.先证由(3.1)得23AAAeIA−=+++"2!3!由(3.5)得2323AAA1AA2logeA=+++−++++("")(A)2!3!22!3!231AA3()A+++−=""32!3!22333AAAAA=+−+−++=AA()()."2!23!23再证由(3.5)得23()()XI−−XIlogXXI=−−()+−"2323logX()()XI−−XIeIX=+{(−−I)+−"}23231(XI−−)(XI)2+−{(XI)−+−"}2!23231(XI−−)(XI)3+−{(XI)−+−""}+3!2322333()()()()()XI−−−−−XIXIXIXI=−X++{}−++"22326=X..证毕与指数映射类似对实数成立的公式log(xy)=+logxlogy只有当logX与logY可交换且X与Y均与I邻近时才有相应的关系式设X与Y均与I邻近且logX与logY的乘法可交换则log(XY)=+logXlogY(3.7)log(XY)logXlogYlogX+logY证eX==Yeee=证毕

15Lie群与Lie代数-15-单参数子群再来引进一个重要的概念Lie群的单参数子群设G为一Lie群γ−()(tt∞<<∞)为g中过幺元e的一条曲线则对每一取定的γ()ttt∈<,()γ是G中的一个元素00设参数t满足γγ()(tt12+=tt12)γ()(3.8)则称γ()t是G中的一个单参数子群e•γ(0)因γγ()ttt=+=(0)γγ(0)()所以γ=(0)e又因γγ()()tttt−=−=γ()γ(0)=eG图3.1所以γ()t之逆元为γ−()t由于γγ()()tt=+=+=γ(tt)γ(tt)γγ()()tt12122121所以γ−()(tt∞<<∞)是G的一个单参数子群我们将Lie群G的一个单参数子群看成流形G对二维Lie群可将G看成为一张曲面中过e处的一条曲线从微积分知道这只要对γ()t在t=0处求导即得γ()t在t=0处的dtγ()切向量γ′(0)=因为我们只讨论线性群所以γ()t是矩阵其元素是t的函数dtt=0γ′()t表示对γ()t的每一元素求导所得的矩阵由于γγ()(ts+=ts)γ()两边对s求导并令s=0得γ′(0)γγ′′()tt=()(0)γ(3.9)γ(0)这是一组常微分方程不难验证其解为γγ()tt=exp(′(0))(3.10)可见单参数子群必可表示为指数映射的形式•而且从(3.10)可见对G在幺元处的切空间TGeeγ()tTG平面上的任一向量A=γ′(0)就有G中的一元eG素γγ(1)=exp('(0))与之对应反之若给定G中图3.2

16Lie群与Lie代数-16-与幺元=I邻近的一个元素g因假定G是线性群所以g是矩阵根据公式(3.5)定AtA义Ag=log则由eg=知A为G在e处之切向量e为以A为单位切向量的单参数子群因此对G中与幺元e邻近的一个元素就有TG()G在幺元处的切空间中一向e量A与之对应也就是说设UG⊂中包含e的一个适当邻域我们建立了一种对应关系log→GU⊃←TG()expegAg→=log(3.11)AeA←这种对应将我们研究的对象从Lie群G转移到G在幺元e处的切空间TG()TG()ee是由向量构成的线性空间其结构及运算当然要比Lie群G要简单得多但由于群的乘法运算对线性群而言是矩阵的乘法一般不可交换因此线性空间中向量之间可交换的加法运算肯定不能完全刻划群的乘法运算即TG()GeAAe(3.12)BBeAB+ABABe+→≠ee为此我们除上述对应关系外还要在TG()中引入一种新结构来反映G中乘法运算的e不可交换性有了这种新结构的线性空间TG()就是我们在下面要介绍的Lie代数e

17Lie群与Lie代数-17-四Lie群与Lie代数Lie的三基本定理与结构常数ABAB+AB?从上面的讨论我们知道一般ee≠e现在的问题是ee=e这一问题的回答当然与群的乘法的不可交换性有关tAtB设ABTG,(∈)取参数t使t适当小这样e与e均为Lie群G中与幺元e邻近etAtB的元素这样可以保证问题涉及的级数的收敛性为了研究e与e之间的乘法的不可交换性我们来研究tAtB−−tAtBgt()=eeee(4.1)tAtB显然当e与e可交换时gt()==eI单位矩阵而当他们的乘法不可交换时tAtBgt()与幺元e=I单位矩阵的偏离程度反映了e与e的乘法与可交换乘法的差异大小现在我们来具体计算gt()tAtB−−tAtBgt()=eeeett23tt232323=()ItA+++++AA""()ItB+++BB2!3!2!3!2323tt23tt23()ItA−+−+−AA""()ItB+−+BB2!3!2!3!22322323ABAABABB4=+++{()(ItABt+++AB)(t++++)()Ot}22622622322323ABAABABB4{()(ItABt−++++−++++AB)(t)()Ot}2262262223ABAB=++−−+ItABABtABBAt()(−)+(−−2222BABA4−+−++ABABAB)()Ot22324t=+ItAB[,]+([,[,]][,[,]])()AABBBAOt−+(4.2)2

18Lie群与Lie代数-18-定义这里引进了一种重要的新记号[,]对任意两个n阶矩阵AB,[,]AB=−ABBA(4.3)这里AB与BA按通常定义的矩阵乘法相乘我们称这种运算为Lie乘法[,]AB为矩阵AB,的Lie乘积这是下面我们要定义的Lie代数的基本运算由(4.2)可得gtI()−=+[,]()ABOt(4.3)2tgtI()−因此lim=[,]AB(4.4)2t→0ttAtB由此可见Lie群G中的元素e与e的乘法的不可交换性的程度当t很小时主要取决于[,]AB现在在(4.3)中作变量代换ts=并利用Ig==(0)e则(4.3)化为gsg()(−0)=+[,]()ABOs(4.5)sgsg()(−0)因此lim=[,]AB(4.6)s→0s这说明[,]AB是Lie群G中过幺元的曲线gs()在幺元处的切向量即[,]ABTG∈()e∵AB,是TG()中的任意两个切向量所以我们证明了e∀∈ABTG,()[,]ABTG∈()ee也就是说我们引入的Lie乘法对TG()这个向量空间的封闭性etAtB?现在可以来回答ee=e的问题了tAtBtC令ee=e则tCtAtBtC==logelogee

19Lie群与Lie代数-19-2t22=+log{(ItAB(+)+++(AABB2)+23t32234+++++(33AABABBO)(t)}623tt2232234=++tAB()(2A+++ABB)(33A++++ABABB)(Ot)262t2232−+++++{(tAB)(A2ABB)Ot()}/2+22t22334++++++{(tAB)(A2ABB)Ot()}/3+Ot()223tt22=++−+tAB()(ABBA)(AB−−+ABAABABA212224−++−+BABABBABAB)()Ot114=++(tAtB)[,tAtB]+[,[,tAtAtB]−tBtBtA,[,]]+Ot()(4.7)212tAtB由此可见只要有了Lie乘法TG()中知道了与ee,相对应的元素tAtB,由公式etAtB(4.7)即可求得TG()中与ee相对应的元素由此可见Lie群G在幺元e处的切空间这e是一个线性空间引进了Lie乘法就能正确的反映Lie群中的乘法运算由于我们讨论的Lie群都是线性群其元素均为矩阵因而其在幺元处切向量也是矩阵因此上面Lie乘法的定义[,]AB=−ABBA中AB与BA即通常的矩阵乘法但是若G是一般的抽象的Lie群其元素未必是矩阵则相应的向量空间TG()的元素也未必是矩阵e此时ABBA,表示什么意义需要进一步讨论阐明有兴趣的得学者可参阅有关Lie群的专著容易验证上面在TG()中定义的Lie乘法[,]具有下列性质e[,]AB=−[,]BA反对称(4.8)设为实数则kk,[,][,][,]AB==kABAkB线[ABCACBC+=+,][,][,],(4.9)性[,ABC+=][,][,].AB+AC[,[,]][,[,]][,[,]]0(ABC++=BCACABJacobi恒等式)(4.10)我们称有了Lie乘法的向量空间TG()构成一个Lie代数更确切地称之为Lie群G的e

20Lie群与Lie代数-20-Lie代数并记为g用大写字母表示Lie群用相应的小写黑体字母表示其Lie代数Lie群的Lie代数完全刻划了Lie群在幺元附近的结构要研究Lie群在幺元附近的性质只要研究其Lie代数即可这当然使问题大为简化但是Lie代数仅刻划了Lie群在幺元附近的局部性质而不能反映其整体性质例如例1全体实数<对加法运算所构成的一维Lie群与例9绕固定轴的转动群可用单位圆周作为其几何模型其Lie代数是相同的但其整体结构显然是不同的设G是一个r维Lie群取定幺元e的一个邻域U在U中取定坐标系{,}Uϕ并取e为坐标原点ϕ=()(0,0,0)e"=γj()tj,1,2,",rGϕγ(()tt)(=0,,0,,0"",,0)(4.11)j(1j−)个零X1γ1()t为其r条坐标曲线X2e以Xj==γ′(0),1,2,",r记为其在jjUγ()t2幺元处的切向量即XTG∈==()gj1,2,,."r显然jeTG()x2eϕ()U{,,,}XX"X可取作为向量空间TG()的12re基TG()中任一向量可用它们的线性组ex1合表出由于[,]XX∈g所以ij图4.1nk[,]XXij==∑CXijijk,1,2,,."rk=13k这r个数{},,1Ckij=,2,,"r称为Lie群g以{,,,}XX"X为基的结构常数ij12r对g中任意向量XY,rrjjXXYX==∑∑ξηjj,.jj==1112rr12XY∼"(,,,),ξξξ=(,,ηη"η).

21Lie群与Lie代数-21-rrrrjkijkZX==[,][Y∑∑∑ξηXjk,X]=∑CjkiξηX(4.12)jk==11i=1j,k=1将Z也用坐标表示rir12ZXZ=∑ζζi,(∼",ζ,ζ).i=1由(4.12)即得rijikζξ==∑Cirjkη,1,2,",.(4.13)jk,1=由此可见一个Lie代数完全由其结构常数决定当然结构常数与基的选取有关基改变时相应的结构常数也随之改变Lie代数的一个重要的基本问题是如何选取适当的基使相应的结构常数最简单由Lie代数的基本性质(4.8),(4.9),(4.10)易知结构常数有下列重要性质kk(1).CC=−i,,1,2,,jk="r(4.14)ijjirlmlmlm(2).∑()CCijlk++=CCjkliCCkilj0ijkm,,,=1,2,",r.(4.15)l=1te0例12.在例8的群T中γ()tt=−∞<<∞与21011tγ()tt=−∞<<∞.是过幺元的两条曲线也是两个单参数子群它们在幺元处201'10'01的切向量分别为X==γ(0)与为X==γ(0)因此Lie群T的Lie代112220000数t的基有XX,组成现在来求t相对于这组基的结构常数21220000[,]XX==[,]XX112200001001011001[,]XX=−==X.122000000000012121122所以CCCC====0,CC=−=0,C=1,C=−1.1111222212211221例13现在来求Lie群SO(3)的Lie代数SO(3)及其结构常数

22Lie群与Lie代数-22-我们取SO(3)绕xyz,,轴的转动100cos0sttingt()=−0costsin,tgt()=010.xy0sincostt−sin0costtcostt−sin0gt()=sintcost0.(4.16)z001显然这是SO(3)的三个单参数子群它们在幺元处的切向量分别为000001′′Ig==−==(0)001,Ig(0)000.12xy010−100010−'Ig==(0)100.(4.17)3z0003(31)−{,,}III构成SO(3)的Lie代数SO(3)的一组基∵SO(3)是=3维Lie1232群所以SO(3)是一个三维线性空间它们的Lie乘法为[,]II=−=IIIII,1212213[,],III==[,].III(4.18)231312123由(4.18)即求得CCC===0,0,1,".121212KKKz若在三维空间<中取基向量ijk,,在解析几3KKKKKijkji×==−×KKKKK何中熟知它们的向量积为jkikj×==−×KKKKKKkijik×==−×kKj(4.19)OyKKKK可见ijk,,的向量乘法就是III123,,的Lie乘i法x图4.2

23Lie群与Lie代数-23-Lie的三基本定理现在再回来讨论Lie群及其乘法函数γ′()t在r维Lie群G中取幺元e的一个邻域γ′(0)U在U中取定坐标系{,}Uϕ并取e位坐TG()eγ()t标原点eϕ=()(0,0,,0)e"Ggxx∼"(,)1r对U中三元素hyy∼"(,,)1rUx2kzz∼"(,,)1rϕ(4.20)设G在坐标系{,}Uϕ中的乘法函数为x1fx(,,;,,),""xyy11rr1ϕ(0)"""fx(,,;,,).xyyrrr11图4.3由(2.3)zfxxyy=(,,;,,),""111rr1"""""""""""zfxxyy=(,,;,,).""rr11rr(4.21)(4.21)两边对yy,,"求导并令yy===="y0得1r12r∂∂zf(,,;,,)x""xyyjj11rr=∂∂yykkyy11,,0""rr==yy,,0(4.22)记为=lxx(,,)"jk1r我们称{(,,)}lxx"为Lie群G的辅助函数也可用矩阵记号记为jk1,rjk=1,",rLx()==Lx(,,)((,,))""xlxx(4.23)11rjkrj,k=1,",r.∂fxy(,)(4.19)又可写成Lx()=.∂yy=0现在来研究乘法函数应满足结合律的关系式(2.5)fx(,,;(,,;,,)""xfyyz"z,,(,,;,,)"fy"yz"z)jr1111rrrrr11=ffx((,,;,,)""xyyfx,(,,;,,)"""xyyz;,,)zjr111rr1r1r1r简记为fxfyz(,(,))=ffxyz((,),)(4.24)

24Lie群与Lie代数-24-上式两方对zz,,"求导并令zz,,0"=来用简略记号得1r1r∂∂fxw(,)fyz(,)∂ffxyz((,),)<=.∂∂∂wzzwfy==(,0)z0z=0∂fxy(,)即LyLfxy()=((,))(4.25)∂y若具体将坐标分量写出来则上式即为r∂fx(,,;,,)""xyyjrr11∑<"lyks(,,)1yrk=1∂yk=lfxxyy((,,;,,)""""",,(,,;,,)fxxyy)(4.26)js11r1rr1r1rjs,1=,2,,."r由此可见Lie群G的乘法函数fx(,,;,,)(,)""xyy=fxy满足一组偏微分方程jrr11(4.26)这组偏微分方程是由辅助函数lxxLx(,,)()"=所确定的因此只要知道了辅jk1r助函数就可以通过求解微分方程(4.23)而求得乘法函数从而确定Lie群G的结构在幺元附近这就是Lie的第一基本定理我们还可以进一步证明乘法函数适合微分方程组rr∂lxsj()∂lxsi()k∑∑(()lxki−=lxkj())Clxijsk()kk==11∂∂xxkk(4.27)sij,,=1,2,,."rk这里Ckji,,,1,2,,.="r就是Lie群G的Lie代数g在取定的坐标中的结构常数ij由此Lie群的辅助函数完全由其Lie代数的结构常数所确定知道了结构常数只要解一组微分方程就可求得乘法函数这就是Lie的第二基本定理我们知道Lie代数的结构常数满足关系式(4.14)与(4.15)反之知道一组满足关系式(4.14)与(4.15)的数就可以构造一个Lie代数它以这组数为其结构常数这就是Lie的第三定理所以Lie的三条基本定理用现代的观点表达出来就是说由Lie群唯一确定其Lie代数反之由Lie代数也可在幺元附近完全确定Lie群但是Lie代数不能确定Lie群的整体性质要研究Lie群的整体性质必须用到更多的近代数学知识有兴趣的学者可参看Lie群理论的专著

25Lie群与Lie代数-25-五一些典型Lie群及其Lie代数1全线性群GLn(,)(<-或GLn(,)由一切行列式不为零的n阶矩阵构成其Lie代数gl(,)(n<或gl(,)n-由一切n阶矩阵构成记为Mn(,)<(5.1)22特殊线性群SLn(,)<由行列式等于1的n阶矩阵构成这是一个n−1维Lie群现在来求SLn(,)<的Lie代数sl(,)n<.设Xt().−∞<<∞t为SLn(,)<的一个单参数子群由于Xt()∈SLn(,)<所以det(())1.Xt=(5.2)上式两边对t求导并令等于0即得tX((′0))0=.(5.3)r这里的记号t表示取矩阵对角线元素之和r由(5.1)⇒(5.2)的推导利用了公式设Xt()(())=xt则ij''xtxt()()""xt()xtxt()()xt()11121nn11121''dxtxt21()22()""xt2nn()xtxt21()22()xt2()(det(())Xt=+dt""""""""xtxt''()()""xt()xtxt()()xt()n12nnnn12nnn'xtxt()()"xt()11121n'xt21()xt22()"xt2n()++"""""'xtxt()()"xt()nn12nn10及XI(0)==%.01AtrAA再利用公式detee=.可知若trA=0则dete=1.故得sl(,){nA<<=∈M(,)|ntrA=0}.(5.4)3特殊正交群SOn().

26Lie群与Lie代数-26-设Xt().−∞<<∞t为SOn().的一个单参数子群由(2.8)知tXtXtI()()=(5.5)上式两边对t求导并令t等0即得tXX′′(0)(+=)(0)0(5.6)tAtA−At()eee==反之若AA=−则因AAtAA−0ee()==eeeI=.故得tSOn(){=∈AMn(,)|<<,ζζζ=(,,)"www=(,,)"(5.9)1n1nn<>ζζ,ww=∑kkk=1Hermite内积显然具有性质<ζζ+,,,www>=<ζ>+<ζ>.1212<>ζζ,,ww=<>.(5.10)<>ζζ,0≥<>,,00ζζ=⇔=ζ.设U为-上的线性变换若n<>UUζζζ,,w=,∀,w∈-.(5.11)n则称U是一个酉变换其矩阵称为酉矩阵易证酉矩阵全体成一群酉群Un().t由(5.11)容易推得UUnU∈⇔=()UI(5.12)t即Un(){=∈UGLn(,)|-UU=I}(5.13)

27Lie群与Lie代数-27-用推导SOn()的关系(5.6)(5.7)得方法完全类似可得tu(){nVM=∈(,)|nVV-=−}(5.14)即u()n由全体反Hermite矩阵构成5辛群Sn()p考虑2n维线性空间<:(xxx==,"",;ξξ,,)(yyy,"",;ηη,,).定义21nn1nn11n辛内积ω(,)<<如下nωη(,)xy=−∑(xkkykkξ)(5.15)k=1设T为<中的一个线性变换若2nωω(,)(,),TxTy=∀xyxy,∈<(5.16)2n则称T为一辛变换相应的矩阵称为辛矩阵全体辛变换构成一群辛群Sn()这是一个2n维Lie群可以证明ptTSnTJ∈⇔=()TJ(5.17)pOIn这里J=In为阶幺阵n−IOn同样可以证明tSnAMn(){=∈(2,)|

28Lie群与Lie代数-28-六Lie代数的结构与分类先引进几个重要概念设g是一个Lie代数m与m为g中的非空子集分别以mm+与[,]mm表121212示由{|}mmm+∈m及{[mmm,]|∈m}所张成的子空间12ii12iii=1,2i=1,2定义子代数与理想Lie代数g的子空间h若满足[,]hh⊆h(6.1)则称h为g的子代数若满足[,]ghh⊆(6.2)则称h为g的理想Lie代数中的子代数与理想是与Lie群中的子群与不变子群相对应的概念定义单Lie代数与半单Lie代数设g为一Lie代数显然g本身及由零向量构成的子代数都是g的理想如g除这两个理想外不再有其他理想则称g是单Lie代数如g除了零向量外不包含任何可交换理想则称g是半单Lie代数今后我们主要讨论半单Lie代数的分类与结构ezx例1群Gx=∈,,yzR.y0e不难证明G是一个三维Lie群te010γγ()tt=∈R,()tt=∈R,12t010e1tγ()tt=∈R.是G的三个单参数子群301100001γγγ′′′(0)==XXX,(0)====,(0)是G的Lie112233000100代数g的一组基1000001000[,]XX=−=1200010100000001010001[,]XX=−=−=−X2330100000100

29Lie群与Lie代数-29-0110100101[,]XX=−=−=−X3130000000000由此得到g的结构常数为kCk==0,1,2,3.12123CC==0,C=−1232323123CC==0,C=−1.313131易见h=+{|αβαXX,β∈R}123h=+{|αβαXX,β∈R}都是g的子代数231h=+{|αβαXX,β∈R}312而且hh与还是g的理想12定义Lie代数的同构与同态设g与g为二Lie代数ϕ是线性空间g到线性空间g的线性同构线性同态1212且满足ϕϕ([,])[(),()],XY=∀XϕYXY,∈g1则称ϕ是Lie代数g到Lie代数g的同构同态12定义Lie代数的线性表示与伴随表示设g为一Lie代数gl()V为线性Lie代数gl()V为V上一切非奇线性变换所构成的Lie群GLV()的Lie代数ϕ为g到gl()V上的同态映射则称ϕ为g的一个线性表示V称为ϕ的表示空间V得维数称为表示ϕ的维数我们知道Lie代数g本身就是一个线性空间取定X∈g对每一X∈g令YX6[,]Y(6.3)gg→就定义了g上的一个线性变换记为adX即adXY()[,],=∀XYY∈g(6.4)

30Lie群与Lie代数-30-这样我们就引进了g的一种特殊的线性表示ad:X6adX(6.5)ggg→l()g的这个线性表示的表示空间就是g本身我们称这个表示为g的伴随表示它在研究Lie代数的结构与分类问题中特别是半单Lie代数起特别重要的作用伴随表示的重要性质ad()αβαX+=YadX+βadY(6.6)adXY[,][=adXadY,].(6.7)是容易证明的我们仅证任取Z∈g由伴随表示之定义及Jacobi恒等式知adXYZ[,]()[[,],][[,],][,[,]]==+XYZXZYXYZ=+[adXZY(),][,XadYZ()]=−adYadXZ(())+adXadYZ(())=[adXadYZ,]().证毕伴随表示与结构常数的关系k在Lie代数g中取定一组基{,,,}XX"X设其结构常数{}CadXX()=12nijijnk[,]XXij==∑CXijijk,,1,2,,"n由此可见k=1kadX∼"()C,1i=,2,,.n(6.8)iijKilling形式我们知道在一个线性空间中引进了内积后就成为一个欧氏空间酉空间欧氏空间的内容和解决问题的方法当然要比一般的线性空间丰富得多由此得到启发很自然地会想到在伴随表示的表示空间g中引进一种内积同时我们的目的是研究伴随表示所以引进的内积应该与伴随表示有密切的关系才有用但这样的要求太高了必须略为放宽一些要求这就是下面定义的Killing形式对XY,∈g令BXY(,)(=tradXadY)(6.9)这里tr∼跡trA()=矩阵A的对角线元素之和Killing形式具有下列性质1对称性BXY(,)(,).=BYX

31Lie群与Lie代数-31-BXYZ(,αβ+=)αBXZ(,)+βBYZ(,)2双线性∀∈∈XYZ,,g,,αβR(或-)BadXYZ((),)(+=BYadXZ,())0.3关于伴随表示不变性∀∈XYZ,,g(6.10)性质(1)2由定义容易推得现证(3)BadXYZ((),)=trad(([,]XYadZ)=tradXadYadZ()−tradYadXadZ()BYadXZ(,())=tradYadXZ(([,])=tradYadXadZ()−tradYadZadX()再利用trABC()()=trCAB即得BadXYZ((),)(+=BYadXZ,())0.证毕由以上性质(3)可见我们引进的Killing形式与伴随表示ad的密切关系但Killing形式仅满足双线性的要求性质(1)(2)而不满足内积的正定要求但对我们今后研究的半单Lie代数它具有下列的非退化性质设g为半单Lie代数X∈g若满足BXY(,)0,=∀Y∈g则必有X=0.(6.11)由于半单Lie代数的Killing形式非退化所以在研究半单Lie代数的分类性质与结构时起着重要的关键作用正因如此半单Lie代数的分类结构问题已经做得非常完善彻底下面我们主要讨论半单Lie代数的结构与分类问题现在给定一组基时计算Killing形式nnjj在g中取定一组基{,XX12,",}XnXY,∈=gX∑∑xXYjj=yXjj==11nnnkiiadXXij()[,]==XXij∑CXijkadX==ad()∑∑xXiixadXk=1ii==11nnikik∴adX∼∼()()∑∑xCijadYyCijii==11nnkijlilBXY(,)(==tradXadY)∑∑CxCyijlk=gxyil.(6.12)ilkj,,,1==il,1njk这里gCil==∑ikClji,1jn,2,,"(6.13)kj,1=()g称为Lie代数g的Cartan度量张量il

32Lie群与Lie代数-32-Killing形式非退化显然等于det(gil)0利用Killing形式我们可以得到下面有用的引理引理设h是Lie代数g的理想令h′=∈{|XXg,(,)0BXY=,∀Y∈h}则h′也是g的理想证显然h′是g的子空间又若XA∈∈h′,,g则对任意Y∈h有见(6.10)BadAXY((),)(+=BXadAY,())0.因h是g的理想Y∈h∴adAY()[,]=∈AYh故得BXadAY(,())0,=因而BadAXY((),)0=.所以adAX()∈h′即[,]AX∈h′这就证明了h′也是g的理想现在来证明定理定理若g的Killing形式非退化则g是半单Lie代数此定理之逆也成立半单Lie代数之Killing形式非退化证略证设n是g的一个可交换理想在g中选取一组基{,,,}YY"Y使{,,,}YY"Y为12n12nn的基则由结构常数的定义易见关于基{,,,}YY"Y的结构常数有以下性质12nsCl=≤0,r,s>r.i=1,2,",niltCm=≤0,,,ltrml由此得g得Cartan度量张量具有性质ntsgClm=∑lsCmtts,1=tsts=−∑∑CClsmt=CClsmt=0tn==1,,""tr1,,sr==1,,""sr1,,所以det(g)=0与假设不符ij

33Lie群与Lie代数-33-故g中不存在非零可交换理想即g为半单证毕现在来讨论在半单Lie代数中如何选择适当的基使它的结构常数最为简单的问题Cartan-Weyl形式我们采用的方法是基于矩阵的特征值与特征向量所以如同附录3中所介绍的首先要将实半单Lie代数复化不妨一开始就假定所讨论的Lie代数是一个复半单Lie代数g可以证明实半单Lie代数复化后所得的复Lie代数也仍为半单Lie代数在g中取一组基{,XX",}X(6.14)12,nnk取定A∈gAa=∑Xkk=1现在来求A的伴随表示adA的特征根与特征向量adAX()=ρX即[,]AX=ρX.(6.15)nkk设g相对于基(6.14)的结构常数{}Cijkij,,1,,="nXx=∑Xk则(6.15)写成k=1nnnkijk∑∑()CaxXijk=∑ρxXk(6.16)ki==1,1jk=1(6.16)等价于nkijk(∑Caxij)−==ρx0,k1,2,",.n(6.17)ij,1=(6.17)又可写成nnkikj∑∑(Caij−==ρδj)x0.k1,2,",n(6.18)ji==11nkik相应的特征方程为det(∑(Caij−=ρδj))0.(6.19)i=1特征方程(6.19)是n次代数方程所以必有n个根在复数域中但这n个根可能有重根为了简化我们当然希望选择的基能使与adA相对应的矩阵是对角阵最简单的办法当然是取adA的特征向量但仅仅使g的某一个元素A的伴随表示adA的矩阵对角化是远远不够的我们要求能使g中尽可能多的元素的伴随表示同时对角化而由附录2知一组矩阵可同时对角化的充要条件是它们两两可交换但因[,][adAadB=adAB,](见(6.7))所以adAadB与可交换⇔=[adAadB,]0⇔adAB[,]0[,]0=⇔AB=因此关键在于求得g的极大可交换子代数h当然还要求h具有下面会提到的一些性质这样的可交换子代数Abel子代数称为g的Cartan子代数我们在g中选取适当的基使Cartan子代数h的所有元素的伴随表示的矩阵同时对角化

34Lie群与Lie代数-34-设g的Cartan子代数h的维数为r在h中取一组基{,,}HH"现在在g中可选1rri取一组基使h中任意元素AH=∑λi其伴随表示同时对角化6.9i=1显然有adAH()[,]0===AH,k1,2,,."rkk也就是说A的特征根有r个为0r重特征根而且A的其他()nr−个非零特征根均为单根我们取与非零单根相应的特征向量记为E共()nr−个与{,,}HH"共同构成α1rg的一组基设[,]HE==αEi1,,."r(6.10)iiααri则[,](AHαα==∑λαi)Eα()AEα(6.11)i=1ri这里αλ()A=∑αi(6.12)i=1我们称ααα={,,}"为半单Lie代数g的一个根g的全部根的集合记为∆1r现在来研究相应于这组基{,,,,,}HH""EE的乘法表结构常数我们已经知1rαβnr−道[,]0(,1HH==ij,2,,)"r(6.13)ij[,]HE==ααE(1i,2,,."r取的一切根g(6.14)iiαα现在要问[,]?EE=这里αβ,是g的两个根αβri由Jacobi恒等式任取AH=∑λi则i=1[,[AEE,]][++=EEA,[,]][EAE,[,]]0αβαββα再由(6.10)得[,AEE[,]]()−+=βαAEE[,]()AEE[,]0αβαβαβ即[,[AEE,]](()=+αβA())[AEE,].αβαβ亦即adAEE([,])(()())[,]=+αβAAEEαβαβ由此可见若αβ+不是根即αβ+∉∆则必有[,]0EE=.αβ

35Lie群与Lie代数-35-又若αβ+是g的一个根即αβ+∈∆则[,]EE=NEαβαβαβ而当αβ+=0时可以证明若α为g的一个根则−α必定也是g的根即若αα∈∆必有−∈∆可以证明[,]EE=∈HH,hαα−αα因此采用了这组基{,,,,,}HH""EE半单Lie代数g的乘法规律就可用下面简1rαβ单的公式表示[,]0HH==.ij,1,2,,."rij[,]HE==ααEi.1,2,,."r∈∆iiαα[,]EE=∈NE,,αβ∆αβ+≠0αβαββa+∀+∉∆αβN=0αβ[,]EE=Hαα−α由此可见采用了这组基Cartan-Weyl基g的结构常数就大为简化由此可将其分类与结构问题完全搞清楚

36Lie群与Lie代数-36-附录1用根的置换群理论解二三次代数方程一利用根的置换理论解二次方程设方程2xp++=xq0有两个根x与x熟知根与系数之间有关系式12xxpxxq+=,.=1212这两个根的多项式有一个重要性质将x换作x将x换作x以后将这种置换方法1221xx12记为这两个多项式是不变的我们将这种置换的作用记为xx21xx12:,xxxx+⇒+1221xx21xx12:.xx⇒xx1221xx21具有这种性质的多项式称为根的对称多项式简称为对称多项式又如222xxxx+−,()1212等都是对称多项式但如xxxx+−2,1212等就不是对称多项式例如xx12:2xxxxxx+⇒+≠+22.122112xx21在关于根xx,的对称多项式中以xxxx+,为最简单它们被称为基本对称多项式121212且分别等于二次方程的系数−p与q可以证明定理任何关于根xx,的对称多项式必可用基本对称多项式xxxx+,的多项式表121212出也就是说可以用方程的系数pq,的多项式表出这条定理的证明是不难的但有些繁琐有兴趣的读者可以在高等代数的书本中找到它的证明我们在这里就把证明省略了下面只是举几个例子来说明一下当然举例不能算是证明

37Lie群与Lie代数-37-233例()xx−与xx+都是对称多项式现在把它们表为xx+和xx或者说pq,的12121212多项式22222()2xx−=−+=+−=−xxxxxx()4xxpq4.1211221212333322xxxx+=+−−=+−()33()xxxxxx12121212123−+3(xxxx)=−p+3.pq1212利用上面的定理及对称多项式的特点就可以求得二次方程的解事实上已经知道xxp+=−若再能知道xx−等于什么那就容易求得xx与了xx−若是对称多12121212项式问题就好办因为这时根据上面的定理可以把xx−表示成已知数pq,的多项式12就等于求出了xx−可惜它不是对称多项式因为12xx12:(xx−⇒−=xx)−−(xx)122112xx212但从上面置换的结果容易想到()xx−应该是对称多项式12xx12222:(xx−⇒−=−)(xx)(xx)122112xx212因为()xx−是对称多项式所以可以用pq,的多项式表示事实上我们已经求得过1222()4xx−=−pq.因此很容易求得122xx−=±−pq4.12利用xxp+=−122xx−=±−pq412立即可求得12xp=−+−(4pq)12.xp=−−−1(4p2q)22这就是通常解二次方程的公式上面解二次方程的方法虽然没有提出什么新的结果用通常的配方的方法似乎比这里还简单一些但它却显示了解代数方程的一种普通方法因而循着这种方法的思路就容易得

38Lie群与Lie代数-38-到解三四次方程的公式二利用根的置换群解三次方程考察三次方程32xp+++xqxr=0.(1)设xxx,,是它的三个根则由著名的韦达定理知123xxxp++=−123xx++=xxxxq(2)122331xxx=−r123xxxxxxxxxxxx++,,++这三个关于xxx,,的多项式具有这样的特123122331123123点它在对xxx,,的任何一种置换下都是不变的根据排列的知识可知这种置换共有1236(3!)=种123123123,,,123132231(3)123123123,,.213321312这里我们将置换xxx123xxx123,,"xxxxxx123132等省去x保留小标简记为123123,,"123132123并将不变123也算作一种置换称为恒等变换同样我们把在上面6种置换作用下都不变得的多项式称为对称多项式例如不难验证222333xxxxxx++,,++123123222222xxxx+++++xxxxxxxx,121223233131等都是对称多项式特别是(2)式中xxxxxxxxxxxx++,,++123122331123称为基本对称多项式

39Lie群与Lie代数-39-同样可以证明定理任何关于根xxx,,的对称多项式必可用基本对称多项式(2)的多项式表示123也就是说可用方程的系数pqr,,的多项表示这个定理的证明也从略而只是用一些例子来说明例2222xxxxxx++=++−()2(xxx++xxx)1231231223312=−pq2222222xxxx+++++xxxxxxxx121223233131=++()xxxxxxxxxxxx(++−)3=123122331123=−pq+3r现在就可以来讨论三次方程(1)的求解问题了我们已看到在解二次方程时起关键作用的是多项式xx−这里xx与的系数是1与21122-1它们恰恰是方程x−=10的两个根因此联想到在解三次方程时与之相当的应该3是方程x−=10的三个根因为32xx−=−1(1)(x++x1)3−+1313ii−−所以方程x−=10的三个根为1,22−+13ii−−132若记ωω==,.则易证223故方程x−=10的三个根为21,ωω,−+13i2这里ω=,且满足ωω++=10.(4)2与解二次方程中起关键作用的多项式xx−相当的应该是多项式122ψω=++xxxω(5)1123ψ也不是对称多项式在6种置换(3)作用下ψ分别为11

40Lie群与Lie代数-40-1232:ψω⇒++xxxω=ψ112311231232:ψω⇒++xxxω=ψ113221321232:ψω⇒++xxxω=ψ12313231(6)1232:ψω⇒++xxxω=ψ121342131232:ψω⇒++xxxω=ψ132153211232:ψω⇒++xxxω=ψ13126312我们首先指出xxx,,可用p,,ψψ表示出来12312例如因2−++=+++++pxψψ()xx(xωωxx)121231232+++()xxxωω13222=+++3(xxx1ωω)(+++1ωω1232=+3.x这里利用关系式(4)ωω+10)=11所以xp=−++()ψψ.(7)1123类似地可以证明12xp=−+()ωψωψ+(8)212312xp=−++()ωψωψ(9)3123从(7),(8),(9)看出要是ψψ与的值能够求得则xxx,,就能出来了于是问题转化12123为求ψψ与12如果ψψ与是xxx,,的对称多项式那么只要根据定理把它们表示成pqr,,的多项12123式就求出了ψψ与的值但遗憾的它们不是对称多项式我们必须把问题扩展一下12很容易看出不仅ψ而且ψψψψψ,,,,中的任一个在6种置换(3)作用下的结果123456都分别是ψψψψψψ,,,,,的某个秩序的排列这就是说在6种置换(3)的作用下下面123456关于t的方程

41Lie群与Lie代数-41-()tttttt−−−−−−=ψψψψψψ()()()()()0,(10)123456总是不变的因为任何一种置换作用于此方程的结果不过是将其因子的秩序重新排列一下而已这样一来可见(10)系数必定都是对称多项式因而都可用pqr,,的多项式表示出来我们希望能从方程(10)中解出ψ与ψ但(10)是六次方程好像问题比原来要求解三12次方程(1)更困难了其实不然因(10)虽然是六次方程但由(6)知2ψ==ωψ,.ψωψ631(11)2ψ==ωψ,.ψωψ4252所以2()ttt−−−=ψψψ()()()ttt−−−ψω()ψω(ψ)163111322223=−++ttt()ωωψωωψψ11+++()−11133=−tψ.1同样有33()tttt−−−=ψψψ()()−ψ.2452于是方程(10)就成为3333()tt−−=ψψ()0.12633333或tt−++()ψψψψ=0.(12)1212一方面方程(12)应该和(10)一样其系数是pqr,,的多项式是已知的实际上可以求出333ψψ+=−+−292ppqr7123323ψψ=−(3pq)123另一方面方程(12)实际上可以化成二次方程求解这只要将t看成一个未知量从(12)即可解得3333233ψψ+±+−()ψψ4ψψ3121212t=233223−+−+−+−−−2pp9qr27(2pp9qrpq27)4(3)=23知道了t即易求得t即得方程(10)之6个根ψ,,,,,ψψψψψ知道了ψ与ψ12345612再根据(8)(9)即可求得原来三次方程的三个根xxx,,这样三次方程的求解问题就完全123解决了遵循上面的方法的思路可以求得四次方程的解但是要更复杂一些不再具体介绍了

42Lie群与Lie代数-42-附录2将一组矩阵同时对角化的问题一线性空间基坐标线性变换矩阵V线性空间n维取定V中一组线性无关向量{,,,}ee"e12n作为基对V中任意向量xy,x1nx∼#xx=∑ejjj=1xnxy,在基{,,,}ee"e中的坐标(1)n12ny1yy=∑jjej=1y∼#yn设A为在V上定义的线性变换AVV:→(2)xyA6=x满足Aaxax()+=+aAxaAx11221122n设Aejk=∑αjekjn=1,",(3)k=1nnnn则Ax==A()∑∑∑xejjxejj=xj∑aekjkjjj===111k=1nn=∑∑()axekj

43Lie群与Lie代数-43-yx11aa1112"a1n##=()a这里()a=""""(5)kjkjyxaa"annnn12nn也就是说取定一组基{,,,}ee"e则线性变换A与矩阵()a相对应若在V12nijij,1=,,"n中取另一组基{,,,}ff"f则向量xy,的坐标及线性变换A所对应之矩阵也要随之而12n变n设ftkj=∑kejkn=1,2,",(6)j=1x1y1xy,在这组基{,,,}ff"f的坐标为"⋅"即12nxynnnnxx=∑llfyy=∑llfl=1l=1nn则xx===∑∑∑jjexllfxtl∑jljejll==11j=∑∑()txejlljjl故得新的坐标之间的变换关系相应也有nxtjj=∑lxll=1.jn=1,2,",(7)nytjj=∑lyll=1代入(4)得nnn∑∑tykll=akj∑txjllkn=1,2,",(8)lj==11l=1写成矩阵形式yx11()ta""=()()t(9)klkjjlyxnn由此即得yx11x1−1""==()()()tat()a"(10)klkjjlklyxxnnn

44Lie群与Lie代数-44-−1这里()t表示矩阵()t的逆阵即klkl−1()()()ata=()t(11)kjklkjjl这就是基变换时线性变换对应的矩阵变换的规律并称矩阵()a与()a是相似的kjkj重要的问题就是如何选取适当的基使它在这组基下对应的矩阵形式最简单下面我们讨论一种重要的特殊情况λ1Oλ设线性变换A在某一组基中其对应的矩阵为对角矩阵2现在要问%Oλn如何求得这组基及相应的矩阵对角线上的元素λλ,,"1n设线性变换A在基{,,}ee"下对应的矩阵为()a而在基{,,}ff"中相应的矩阵1nij1nλ1O为%Oλn由(3)知Af=λfjn=1,2,",(12)jjj我们称λλ,,"为A之特征值ff,,"为相应之特征向量1n1n设f在基{,,}ee"中的坐标为j1nfj1#jn=1,2,",(13)fjn则由(4)在以{,,}ee"为基的坐标系中(12)可写成1nn∑afkljl=λjfjkjk,1=,2,,"n(14)l=1上式又可写成n∑()afkl−=δλkljjl0.(15)l=11,kl=这里δ=kl0,kl≠

45Lie群与Lie代数-45-对每一取定的j(15)是一个其次线性方程组它有非全零解的充要条件是det(aj−=δλ)0.(16)klkl即aaa−λ"11jn121aa−λ"a2122jn2=0""""aa"a−λnn12nnj也就是说λλ,,"必须是特征方程1ndet(a−=δλ)0.(17)klkl的解(17)是λ的n次代数方程它必有n个根可能是复数也可能有重根所以矩阵对角化的问题归结为首先解特征方程(17)求得其n个根λλ,,"然后将此1nfj1n个根代入(14)解得f=#jk,1=,2,,"n若能选取一组线性无关的ff,,"j1nfjnλ1O则以{,,}ff"为基时线性变换A相应的矩阵即为对角阵%1nOλnn∵ffjj=∑kek,所以由(6)(11)知k=1λ1O−1%=()()faf()(18)klkjjlOλn一组矩阵同时对角化的问题上面我们讨论了如何选取适当的基使一线性变换所对应的矩阵是对角矩阵的问题而在Lie代数中我们遇到的问题却是如何选取适当的基使一组有限个或无限个矩阵同时对角化的问题下面我们来证明一条重要的定理定理设SA={,,}B"为一组矩阵构成的集合S可以是有限集也可以是无限集S中每一矩阵均可对角化则这组矩阵可同时对角化的充要条件是它们两两可交换即对任意ABS,∈有AB=BA

46Lie群与Lie代数-46-−1−1证先证必要性设S可同时对角化即存在一非奇矩阵Tt=()使TATTBTij"同时为对角阵即λAOλBO11−1−1TAT=%TBT=%"OλOλAnBnλAOλBO11−1−1亦即AT=%TBT=%T"OλOλAnBn由于任意二个对角矩阵必可交换λλλABOOAλBO1111%%=%OOλλOλλABnnAnBnλλBAOO11=%%OOλλBAnnλλABOO11−−11所以AB=T%%TTTOOλλABnnλλABOO11−1=TT%%OOλλABnnλλBAOO11−1=TT%%OOλλBAnnλλBAOO11−−11=TT%%TTOOλλBAnn=BA这就证明必要性再证充分性

47Lie群与Lie代数-47-λAO1−1设已将矩阵A对角化TAT=%先设A之特征根无重根即OλAn−1λλ,,"两两不相等在S中任取一矩阵B现证TBT也是对角阵AA1n−1−1−1设TBT=()β由于AB与可交换所以TAT与TBT也可交换ijλλAAOO11即%%()()ββ=(19)ijijOOλλAAnn将(14)具体写出即得λβAA1111λβ12"λβA11nλβAA1211λβ12"λβAn1nλβλβ""λβλβλβλβAA222122A22nAA122122An2n=""""""""λβλβ"λβλβλβ"λβAnnn12AnAnnnAn1212AnAnnn由此得λβ=Aβij,1=,2,,."nAi1jAjij即()λλβ−=0AAiijj由于假设λλ≠ij≠所以AAijβ=≠0,ijij即()β为对角阵由于B为S中任取的一矩阵这就证明了S中的所有矩阵已同时ij对角化其次设A之特征根有重根为简单起见不妨设λλλ==而其余n−2个特征AA120根λλ,,"则两两不相等AA3nλ0λO0设此时TAT−1=λ相应的基为ff,,"A31nO%λAn我们将n维线性空间V分解成VV⊕其中V以ff,为基V以ff,,"为基1211223n

48Lie群与Lie代数-48-ββ1112ββO2122任取一BS∈则不难证明TBT−1=λB3O%λBnββλBO11121现在在V1中选取合适的基{,}gg12将对角化为于是若以ββOλ2122B2{,,,,}ggf"f为基则A与B相应之矩阵均已对角化因A在S部分的矩阵为123n1λ0Oλ0O所以对V1中任意一组基其相应的矩阵均为同一对角矩阵OλOλ00如此继续用上述方法处理S中其他矩阵即使S中所有矩阵同时对角化这就证明了充分性

49Lie群与Lie代数-49-附录3实问题的复化方法数学上有一些纯属实数范围中的问题但若囿于实数域中讨论问题就很难解决甚至无法解决但一旦解放思想将问题延拓扩展到复数域中来考虑就能找到有效的解决方法∞sinx例如要计算积分∫dx这纯粹是一个实数域上的问题直接计算是比较困难的但0x若将问题延拓到复平面上则利用复变函数的方法就很容易求得此积分之值333又如要证明方程xyz+=没有非零整数解n=3的Fermat问题尽管这是一个纯粹的实问题但是它的证明方法却必须在复数域中进行讨论而且对此问题到目前为止还没有找到涉及复数的证明方法在我们要讨论的Lie代数的分类与结构问题中实问题的复化方法也是其中重要的一步因为我们所讨论的Lie群其流形均为实流形广义坐标为实数因而其切向量空间是实向量空间在其中任意取定一组基其坐标必为实数对向量的运算也只能用实数相乘线性变换对应的矩阵一定是实矩阵实矩阵的特征方程系数一定是实数但其根却可能是复数由这种复的特征值解得的特征向量的分量也是复数也就是说不是实向量空间中的向量或者说在实向量空间中无解因而无法将这种矩阵对角化为此必须采用实问题复化的方法将实向量空间构成的实Lie代数复化成复向量空间上的复Lie代数然后再来实施矩阵对角化化简的方法具体做法如下设g为一实Lie代数在g中任意取定一组基{,,}XX"则1nnj12n12n∀∈XXxg,.=∑Xj这里xx,,,"xR∈反之任取一组xx,,,"xR∈则j=1nj∑xXj必为g中一元素向量g中的Lie乘法由其结构常数确定j=1nkk[,]XX1ji==∑CXijjk(,1,2,,)"n这里{}Cijkij,,1,,="n均为实数k=1现构造复Lie代数g实Lie代数g之复化-nkkkkkg-=+{(∑xiyXxy)|,,∈<,1k=,2,,}"nk=1也就是说g是形式上由XX,,"的一切复系数的线性组合构成在g中定义加法-1n-

50Lie群与Lie代数-50-与数量复数乘法如下nkkD11=+∈∑()xiyX1kg-k=1nkkD22=+∈∑()xiyX2kg-k=1aab=+∈i-kkkkkk将xi+yxi+y分别记为z与z112212def.nkkDD12+==∑()zzX12+k∈g-k=1def.nkazD11==∑αXk∈g-k=1nnkkkk我们又可将g-中任一元素D==∑∑zXk()xiyX+写成kk==11nnkkD=+=∑∑xXiyXXiYkk+.kk==11这里XY,∈g现在在g中定义Lie乘法如下-将D与D分别写成ZXi=+YZXi,=+Y12111222ZZZXi==[,][++YXi,Y]121122def.=−++∈[,][,][,][,]XXYYiXYiXYg12121221-对复Lie代数g进行化简分类时就可以充分发挥矩阵对角化的技巧不会再像实-Lie代数中发生特征根是复数的困难但这里还存在一个关键问题我们研究的对象是实Lie代数但用上面复化方法得到的结果却是对复Lie代数而言这两者之间有什么关系我们已看到了从一个实Lie代数出发通过复化的方法可以得到唯一的一个复Lie代数表面上看来我们提出的方法与基的选取有关但可证明取任意二组基复化所得的二个复Lie代数一定是同构的但可以证明本质不同的几个实Lie代数即几个互不同构的实Lie代数其复化的结果却可以是同一复Lie代数例如特殊酉群SUn()行列式为1的酉矩阵所构成的Lie群的Lie代数sun()与特殊线性群SLn(,)<的Lie代数slnR(,)是两个不

51Lie群与Lie代数-51-同构的实Lie代数但它们的复化却是同一复Lie代数sln(,)-复特殊线性群SLn(,)-的Lie代数对单Lie代数这一问题也已完全解决我们已经弄清楚一个典型的复单Lie代数究竟对应哪几个互不同构的实单Lie代数这样就完全解决了实单Lie代数的分类问题具体的做法见讲义六Lie代数的分类与结构