最全2020年考研线性代数知识点大总结

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第
1章行列式表
1-1行列式行列式2设有n个数，排成n行n列的数表，记作a11a12a1na21a22a2n概念Dan12anann称为n阶行列式，简记作det()aij，其中数aij行列式D的第（i，j）元素．（1）行列式与它的转置行列式相等；（2）对换行列式的两行（列），行列式变号；（3）如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零；（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都同乘数k，等于用数k乘此行列式；性质（5）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成两个行列式之和；（6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．

1（1）应用行列式的性质计算行列式；（2）应用行列式按行（列）展开定理计算行列式．①余子式与代数余子式在n阶行列式中，把（i，j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n－1阶行列式称为（i，j）元aij的余子式，记作Mij；记作ijAMij(1)ijAij称为（i，j）元aij的代数余子式．②计算方法行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即Dai12Ai12aiAiainAin(i1,2,,)n或Da12jA12jajAjanjAnj(j1,2,,)n（3）特殊行列式的计算公式①上三角形行列式a11a12a1n0aa222nDaa1122ann计算ann②下三角形行列式a11aa2122Daa1122annan12anann③对角行列式λ1λ2λ12λλnλn④范德蒙德行列式111x12xxn222Dnx12xxn()xxijnij1n1n1n1x12xxn

2第2章矩阵一、矩阵1．概念由m×n个数aij(i1,2,,mj;1,2,,)n排成的m行n列的数表a11a12a1na21a22a2nam12amamn称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记为a11a12a1na21a22a2nAam12amamn2．特殊矩阵及其性质（1）方阵①表达式a11a12a1na21a22a2nAan12anann②性质若A为方阵，则Ta．AAnb．AAc．ABAB（2）单位矩阵①表达式100010E001②性质a．对角线上元素都为1，其余元素都为0；b．EA＝AE＝A．（3）数量矩阵①表达式

3k0000kAkE00k②性质a．数量矩阵必能相似对角化；b．数量矩阵有且只有一个n重特征值．（4）对角矩阵①表达式λ10000λ200λn②性质a．对角矩阵为方阵；b．对角矩阵的秩等于主对角线上非零元素的个数．（5）三角矩阵①表达式a11a12a1n0aa222nA00anna1100aa21220Ban12anann其中，A为上三角矩阵，B为下三角矩阵．②性质a．上（下）三角矩阵中沿对角线以下（上）的元素全为0；b．上（下）三角矩阵的行列式的值＝对角线上所有元素的乘积；c．上（下）三角矩阵的特征值就是矩阵对角线上的元素．（6）对称矩阵①表达式a11a12a1na12a22a2na12nanann②性质

4a．元素以对角线为对称轴对应相等，即aaijji；Tb．若A为对称矩阵，则A的转置AA；c．对称矩阵的特征值为实数；d．必存在正交矩阵，将对称矩阵化为对角矩阵，且对角矩阵的对角线元素即为特征值．（7）反对称矩阵①表达式0aa121naa1202naa012nn②性质a．元素以对角线为对称轴对应的数的绝对值相等，符号相反，即；aaijjib．反对称矩阵的对角线元素必为0．二、矩阵的线性运算1．矩阵的加法（1）定义设有两个m×n矩阵A=aij和Bbij，则矩阵A与B的和记作A＋B，规定为ab1111a12b12a1nnb1a21b21a22b22a2nnb2A+Bam1bm1am2bm2amnbmn注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．（2）运算规律设A，B，C都是m×n矩阵，则①A＋B＝B＋A；②（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）；③设矩阵A=aij，记：A=aij，－A称为矩阵A的负矩阵，显然有A＋（－A）＝0，由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋（－B）．2．数与矩阵相乘（1）定义数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为λa11λa12λa1nλa21λa22λa2nλAAλλam12λamλamn

5（2）运算规律设A、B为m×n矩阵，λ、μ为数，①（λμ）A＝λ（μA）；②（λ＋μ）A＝λA＋μA；③λ（A＋B）＝λA＋λB．三、矩阵的乘法1．定义设A=aij是一个m×s矩阵，Bbij是一个s×n矩阵，则规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵Ccij，其中cabiji11jabi22jabissjsabikkj(i1,2,,mj;1,2,,)nk1并把此乘积记为C＝AB．2．运算规律（1）（AB）C＝A（BC）；（2）（AB）＝（A）B＝A（B）（其中λ为数）；（3）A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）A＝BA＋CA；（4）EA＝AE＝A；lklklkkl（5）AAA,AA．四、矩阵的转置1．定义T把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记作A．a11a12a1na21a22a2nAam12amamna11a21am1Ta12a22am2Aa12nanamn2．运算规律TT（1）(A)=A；TTT（2）(A+B)=A+B；TT（3）(A)=A；

6TTT（4）(AB)=BA．五、方阵的幂与乘积1．方阵的幂（1）定义k设A为一个n阶方阵，k为正整数，A称为矩阵A的k次幂．（2）运算规律klklAAAlkklAA（3）计算n若A为方阵，则A的计算算法有：①数学归纳法123根据A、A、A的结果进行猜想，然后用数学归纳法证明猜想成立．②利用对角相似矩阵进行求解（前提条件：A能对角化）a．求可逆矩阵P，使得1PAP12n得1AP2P1nnb．求An1nn21APPnn2．方阵乘积的行列的性质对于n阶方阵A和B，一般AB≠BA，但总有ABAB．

7六、逆矩阵1．定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB＝BA＝E，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A又称B的逆矩阵，简称逆阵．2．性质（1）若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的；（2）若矩阵A可逆，则A0；11（3）若A0，又称A为非奇异矩阵，则矩阵A可逆，且AA，其中A为矩阵A的伴随矩A阵．若A=0，称A为奇异矩阵，A不可逆；（4）A为可逆矩阵⇔A0．3．逆矩阵运算规律1（1）若A可逆，则A亦可逆，且(A1)1A；111（2）若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且(λA)A；λ111（3）若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)BA；1（4）若AB＝E（或BA＝E），则B=A．七、伴随矩阵1．定义行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下的矩阵A11A21An1A12A22An2AA12nAnAnn称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵．一般地，AAAAAE．2．用伴随矩阵求逆矩阵11AA(A0)A注：此方法适用于n比较小的方阵．八、初等变换和初等矩阵1．初等行变换（1）对调两行（对调i，j两行，记作rrij）；

8（2）以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为rik）；（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作rrijk）．注：把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换．2．初等矩阵（1）定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（2）性质①设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵；②A可逆⇔存在有限个初等矩阵PP12,,,Pl，使得APP12Pl；r③方阵A可逆⇔A~E；④初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵；⑤初等矩阵的转置还是初等矩阵．3．矩阵等价如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则矩阵A与B称为等价的．九、矩阵的秩1．定义mn设AF，若A有一个r阶子式不为0，且A的所有r＋1阶子式（假设A有r＋1阶子式）全为0或不存在，则称r为A的秩，记作rankAr．2．矩阵的秩与行（列）向量组之间的关系矩阵的行（列）向量组的秩称为矩阵的秩，行秩＝列秩．3．用初等变换求矩阵A的秩（1）用初等行变换将矩阵A化成阶梯形矩阵B，形如的矩阵称为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0．（2）r（A）＝r（B）＝矩阵B中非零行的行数比如上面矩阵的非零行行数为3，所以秩等于3．4．用初等变换求矩阵A的逆矩阵在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n×2n矩阵（A，I），用初等行变换将左半部分的A1化为单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化为了A，即初等变换1(,)AI(,IA)十、分块矩阵1．定义

9将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．2．运算（1）设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有AA111rAAAs1srBB111rBBBs1sr其中Aij与Bij的行数相同、列数相同，则AA11BB111rr1ABAABBs11ssrsrAA111r（2）设A，λ为数，则AAs1srλA11λA1rλAλAs1λAsr（3）设A为ml矩阵，B为ln矩阵，分块成AA111tAAAs1stBB111rBBBt1tr其中Ai12,Ai,,Ait的列数分别等于B12j,Bj,,Btj的行数，则CC111rABCCs1sr其中

10tCijABikkj(i1,,;sj1,,)rk1AA111r（4）设A，则AAs1srTTAA11s1TAAATT1rsr（5）设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即A1oA2AoAs其中Ai（i＝1，2，„，s）都是方阵，则称A为分块对角矩阵．分块对角矩阵的行列式具有下述性质AAAA12s由此性质可知，若Ai0（i＝1，2，„，s），则A0，并有1oA111A2AoA1s

11第3章向量一、向量1．n维向量n个有次序的数aa12,,,an所组成的数组称为n维向量．2．线性组合给定向量组A：aa12,,,am，对于任何一组实数k12,k,,km，表达式ka11ka22kamm称为向量组A的一个线性组合，k12,k,,km称为这个线性组合的系数．3．线性表示设有两个向量组A：aa12,,,am及B：bb12,,,bn，若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示．二、向量组1．定义若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称为向量组．2．线性相关与线性无关（1）定义给定向量组A：aa12,,,am，如果存在不全为零的数k12,k,,km，使ka11ka22kamm0则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．（2）性质①若向量组A：aa12,,,am线性相关，则向量组B：aa1,2,,amm,a1也线性相关．反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关．②m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关．特别地n＋1个n维向量一定线性相关．③设向量组A：aa12,,,am线性无关，而向量组B：aa12,,,am,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的．（3）判别法向量组A：aa12,,,am，则①|A|≠0⇔r（A）＝m⇔aa12,,,am线性无关；②|A|＝0⇔r（A）＜m⇔aa12,,,am线性相关．三、极大线性无关组与向量组的秩1．极大线性无关组设有向量组A，如果在A中能选出r个向量aa12,,,ar满足

12（1）向量组A0：aa12,,,ar线性无关；（2）向量组A中任意r＋1个向量（如果A中有r＋1个向量的话）都线性相关，则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关组．2．求极大线性无关组（1）对于给定的向量组，按照列向量排列，构成矩阵A；（2）用初等行变换将矩阵A化成阶梯形矩阵B；（3）观察矩阵B，得①极大线性无关组所含向量的个数＝r（B）＝矩阵B中非零行的行数；②矩阵B中非零行的首非零元（左起第一个非零数）所在列对应的向量构成一个极大线性无关组．【例】1020403501()123450004600000观察右边矩阵，第一行的首非零元为1，对应的列数为1；第二行的首非零元为3，对应的列数为2；第三行的首非零元为4，对应的列数为4，因此得极大线性无关组为a1、a2和a4．3．向量组的秩极大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记为rA．4．求向量组的秩同上，向量组A的秩＝阶梯形矩阵B中非零行的行数．5．向量组等价若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．四、向量空间1．向量空间设V为n维向量的集合，如果集合V为非空集合，且集合V对于向量的加法及数乘两种运算封闭，即：若VV,，则V；若VR,λ，则λV，则集合V称为向量空间．2．子空间设有向量空间V1及V2，若VV12，则称V1是V2的子空间．3．基、维数设V为向量空间，如果r个向量aa12,,,ar∈V，且满足：（1）aa12,,,ar线性无关；（2）V中任一向量都可由aa12,,,ar线性表示，则向量组aa12,,,ar称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间．4．坐标如果在向量空间V中取定一个基aa12,,,ar，则V中任一向量x可唯一地表示为xλ1aa1λ2a2λrr数组λ12,λ,,λr称为向量x在基aa12,,,ar中的坐标．五、基变换与坐标变换1．基变换

13设12,,,n及12,,,n是线性空间Vn中的两个基，有1p1112p21pn1n2p1212p22pn2nnp12n12pnpnnn把12,,,n这n个有序向量记作(12,,,n)，记n阶矩阵Pp(ij)，利用向量和矩阵的形式，得基变换公式(11,2,,n)(,2,,n)P矩阵P称为由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵．又12,,,n线性无关，故过渡矩阵P可逆．2．坐标变换T设Vn中的向量在基12,,,n中的坐标为(x12,x,,xn)，在基12,,,n中的坐T标为(,'',,')．若两个基满足xx12xn(11,2,,n)(,2,,n)P则有坐标变换公式'x1x1'x2Px2xn'xn或'x1x1'x21x2P'xnxn六、内积与施密特正交化1．内积设有n维向量

14x1y1x2y2xy,xynn令xy,x12y12xyxnynT则xy,称为向量x与y的内积．又记xy,xy．2．施密特正交化设aa12,,,ar是向量空间V的一个基，把aa12,,,ar标准正交化：取ba11ba12,b2a2b1bb11,ba1,rb2,arbr1,arbrarb1b2br1bb1,1bb2,2brr1,b1易验证bb12,,,br两两正交，且bb12,,,br与aa12,,,ar等价．然后把它们单位化，即取111e1be1,2b2,,errbb12bbr就是V的一个标准正交基．七、规范正交基与正交矩阵1．规范正交基（1）定义n,,,设n维向量ee12,,,er是向量空间VV()R的一个基，如果ee12er两两正交，且都是单位向量，则n维向量ee12,,,er称为V的一个标准正交基．（2）性质①设12,,,n是一组规范正交基，则1,ij(,)ij0,ij②一组基为规范正交基⇔它的度量矩阵((,ij))为单位矩阵；③设12,,,n是一组规范正交基，向量在该基下的坐标为xx12,,,xn，即

15x11x22xnn其中xii(,)(in1,2,,)④设12,,,n是一组规范正交基，且x11x22xnny1212yynn则T,x12y12xyxnynXY2．正交矩阵（1）定义如果n阶矩阵A满足TT1AAA)E（即A则A称为正交矩阵，又称正交阵．（2）性质1T①若A为正交矩阵，则AA也是正交矩阵，且A1或（－1）；②若A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；③A的各行（列）是单位向量且两两正交．

16第4章线性方程组一、克拉默法则含有n个未知数xx12,,,xn的n个线性方程的方程组axaxaxb1111221nn1axaxaxb2112222nn2axaxaxbn11n22nnnn它的解可以用n阶行列式表示，如果aa111n|A|0aan1nn则此方程组有唯一解|A||A||A|12nx12,x,,xn|A||A||A|其中A（j＝1，2，„，n）是把系数矩阵A中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩j阵，即aabaa111,j111,j11nAjaabaan1nj,1nnj,1nn二、齐次线性方程组1．定义设有齐次线性方程组axaxax01111221nnaxaxax02112222nnaxaxax0m11m22mnn记

17aaax11121n1aaaxAx21222n,2aaaxm12mmnn得Ax0．2．非零解n元齐次线性方程组Ax＝0有非零解⇔rA()n．3．基础解系（1）定义设12,,,s是齐次线性方程组Ax＝0的一组线性无关的解向量，且方程组Ax＝0的任意一个解向量都可用12,,,s线性表示，则称12,,,s为方程组Ax＝0的一个基础解系．（2）求法给定m×n矩阵A，当r（A）＝r＜n时矩阵消元法步骤：①对A进行初等行变换，化成阶梯型矩阵CC0C11121n00CC222nA00CCrrrn00000000②根据步骤a中的矩阵，写出Ax＝0同解的方程组CxCx+0Cx1111221nnCxCx02222nnCxCx0rrrrnn③将步骤b中的方程组进行移项，方程组左边仅保留主元所在列的r个未知量，得CxCxCx()CxCx1111221rr1,r1r11nnCxCx()CxCx2222rr2,r1r12nnCx()CxCxrrrrr,1r1rnn④取自由未知量xr12,xr,,xn分别为（1，0，„，0）、（0，1，0，„，0）、„„、（0，„，0，1）．由

18这（n－r）组数就可确定方程组的（n－r）个解12,,,nr，则称向量组12,,,nr为Ax＝0的基础解系．4．通解当方程组Ax＝0有基础解系12,,,nr时，该方程组的全部解可表示为kkk1122nrnr其中kk12,,,knr为任意常数，上式称为齐次线性方程组Ax＝0的通解．5．解空间齐次线性方程组Ax0的全体解向量所构成的一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间，记作SxAx|0．三、非齐次线性方程组1．定义设有非齐次线性方程组axaxaxb1111221nn1axaxaxb2112222nn2axaxaxbm11m22mnnm记aaaxb11121n11aaaxbA21222n,,x2B2aaaxbm12mmnnm增广矩阵aaab11121n1__aaabA21222n2aaabm12mmnm得Ax＝B．2．解对于n元线性方程组Ax＝B，方程组解的情况如下：（1）无解⇔rA＜rA，b；（2）有解⇔rA()rA()；（3）有唯一解⇔rA＝rA，b＝n；

19（4）有无限多解⇔rA＝rA，b＜n．3．通解,,,设非齐次线性方程组Axb的一个特解为，对应的齐次线性方程Ax0的基础解系为12nr，则非齐次方程的通解为xccc(,,ccR)1122nrnr1nr四、解的结构（1）x1、x2都为Ax＝0的解，则12也是Ax＝0的解．（2）x为Ax＝0的解，k为任意常数，则xk也是Ax＝0的解．（3）x1、x2都为Ax＝B的解，则x12是Ax＝0的解．（4）是Ax＝B的解，是Ax＝0的解，则+是Ax＝B的解．

20第5章矩阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量1．特征值（1）定义设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax＝λx成立，则λ称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（2）性质若12,,,n是n阶矩阵A(A)ij的特征值，则：①12ntr(A)a11a22ann；②12nA；③若xx,是A的属于的特征向量，则kxkx也是A的属于的特征向量（其中kk,为任意常数，1201122012且kxkx0）；112221m2④设λ是方阵A的特征值，则矩阵kAAaAbA,,,,A,A分别有特征值为k，，ab，1||Am，；，m⑤若λ是A的特征值，则()是()A的特征值（其中()aaa是λ的多项式，01mm(A)aEaAaA是矩阵A的多项式）；01m⑥设12,,,m是方阵A的m个特征值，pp12,,,pm依次是与之对应的特征向量，如果,,,各不相等，则pp,,,p线性无关．12m12m2．求特征值和特征向量（1）构造矩阵A的特征方程IA0，即aaa11121naaa21222nIA=0aaan12nnn算出特征值12,,,n．（2）将12,,,n分别代入方程IA0，得iIA0，求得的非零解就是关于特征值i的特征向量，依次求出各个特征值的特征向量．二、相似矩阵1．定义

211设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使PAPB，则称B是A的相似矩阵，或矩阵A与B相似，记为A～B．2．性质（1）反身性：A～A；（2）对称性：若A～B，则B～A；（3）传递性：若A～B且B～C，则A～C；（4）若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式、相同的特征值、相同的行列式、相同的秩、相同的迹（主对角线上所有元素的和称为迹）．3．矩阵可相似对角化的充分必要条件（1）n阶矩阵A可相似对角化⇔A有n个线性无关的特征向量；（2）n阶矩阵A可相似对角化⇔对于A的每一个ni重特征值i，特征矩阵()iEA的秩为nni．4．将矩阵化为相似对角矩阵（相似变换）1求可逆矩阵P及对角矩阵，使PAP的方法的步骤：（1）根据特征方程IA0，化简得n12nnsIA12s其中12,,,s互不相等．（2）将i代入计算iIA的秩，判断r()iIA是否等于nni（i＝1，2，„，s），若相等，则A可对角化．否则，A不可对角化．（3）在可对角化前提下，对每个特征值i，求(IAx)0的基础解系，得到ixxi12,i,,xini(i1,2,,)s（4）构造矩阵xxx1121s1xxx1222s2Pxxx12n12nsns得

221121PAP2ss则上面P和即为所求可逆矩阵P及对角矩阵．三、实对称矩阵的特征值和特征向量1．实对称矩阵实数域上对称矩阵称为实对称矩阵．2．性质（1）实对称矩阵的特征值都是实数；（2）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；（3）实对称矩阵属于ni重特征值的线性无关的特征向量恰有ni个；（4）n阶实对称矩阵恰有n个线性无关的特征向量，进而有n个单位正交的特征向量；（5）若A为实对称矩阵，则存在可逆矩阵P，使1为对角矩阵．实对称矩阵一定相似于对角阵；PAP（6）若两实对称矩阵有相同的特征值，则二者相似．

23第6章二次型一、二次型1．二次型的相关概念（1）二次型的定义含有n个变量xx12,,,xn的二次齐次函数222fx(1,x2,,xn)ax111ax222axnnn2axx12122axx13132an1,nxn1xn称为二次型．（2）二次型的矩阵表示将二次型用矩阵记作TfxAx其中a11a12a1nx1A,a21a22a2nxx2an12anannxn其中A为对称矩阵，称为二次型的矩阵．（3）二次型的秩对称矩阵A的秩称为二次型的秩．（4）二次型的标准形与规范形①标准形：二次项只含平方项，形如222fk12y12kyknyn②规范形：标准形二次项的系数kk12,,,kn只在1，－1，0三个数中取值，形如2222fy11ypypyr2．合同变换与合同矩阵T设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使B=CAC，则称矩阵A与B合同，变换X＝CY称为合同变换．3．惯性定理T设二次型f=Axx的秩为r，且有两个可逆变换x＝Cy及x＝Pz使222fk12y12kykriyr(k0)及222fλ11zλ22zλrzr(λi0)则kk12,,,kr中正数的个数与λ12,λ,,λr中正数的个数相等．4．化二次型为标准型（1）正交变换法①写出二次型矩阵A；

241②求正交阵T及对角阵，使TAT=；③作正交变换XTY；222④原二次型的标准型为Y'ΛY，即λ12y12λyλnyn（λi为A的特征值）．（2）配方法①若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都xixi配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准型；②若二次型中不含有平方项，但是aij0(ij)，则先作可逆线性变换xiyyijxjyyij(kn1,2,,且kij,)xkyk化二次型为含有平方项的二次型，然后再按照①中方法配方．5．正定二次型与正定矩阵（1）定义T设二次型f(x)=Axx，如果对任何x≠0，都有f（x）＞0（显然f（0）＝0），则称f为正定二次型，又称对称矩阵A是正定的；如果对任何x≠0都有f（x）＜0．则称f为负定二次型，又称对称矩阵A是负定的．（2）判别法T①实二次型f(x)=Axx为正定⇔它的标准型的n个系数全为正；②对称阵A为正定矩阵⇔A的特征值全为正；③对称阵A为正定矩阵⇔A的各阶主子式都为正，即aa111naa1112a0,0,,011aa2122aan1nn