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《高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法互动课堂学案苏教版选修1_2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、苏教版高中数学选修1_2互动课堂学案2.2.2间接证明互动课堂疏导引导1.反证法证明数学问题的理解(1)反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律：一个事物或者是A或是，二者必居其一，反证法即证明结论的反面错误.从而结论正确.(2)反证法可以证明的命题的范围相当广泛.一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等.(3)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步.也是关键一步.“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件.“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明.做好“反设”应明确①正确分清题设
2、和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况.例如A：大于，：不大于；不大于即小于或等于，对这两种情况在下一步的“归谬”中应一一证明不成立.(4)反证法的“归谬”.它是反证法的核心.其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.2.反证法证明问题的基本思路用反证法证明结论是B的命题,其思路是：假定B不成立,则B的反面成立,然后从B的反面成立的假定出发,利用一些公理、定理、定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果,若同时承认这个结果与题设条件,
3、则与学过的公理、定理或定义矛盾,这矛盾只能来自“B的反面成立”这个假设,因此B必定成立.可见反证法的步骤是：否定结论→推出矛盾→否定假设→肯定结论,其中推出矛盾是证明的关键.3.反证法所能证明的问题类型数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实,它们的判定方法极少,宜用反证法证明.正难则反这是应用反证法的原则,即一个命题的结论如果难于直接证明时,可考虑用反证法.另外,宜用反证法证明的题型还有：(1)一些基本命题、基本定理;(2)易导出与已知矛盾的命题;(3)“否定性”命题;(4)“唯一性”命题;(5)“必然性”命题;(6)“至多”“至少”类的命题;(7)涉及“无限
4、”结论的命题等等.4.应用反证法证明问题时应注意的问题(1)要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大),然后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论,从这些结论中把原命题所含的结论剔除,就得到原命题的相反判断,如“是”的反面是“不是”,“有”的反面是“没有”,“等”的反面是“不等”,“成立”的反面是“不成立”,“有限”的反面是“无限”,以上这些都是相互否定的字眼,较为易找,应注意以下的否定：“都是”的反面为“不都是”,即“至少有一个不是”(不是“都不是”);“都有”的反面为“不都有”,即“至少一个没有”(不是“都没有”);“都
5、不是”的反面为“部分是或全部是”,即“至少有一个是”(不是“都是”);“都没有”的反面为“部分有或全部有”,即“至少一个有”(不是“都有”).苏教版高中数学选修1_2互动课堂学案(2)间接论证的应用有一定困难,因为在间接证明过程中,不得不暂时离开所讨论的论题,引进许多补充的材料(如结论的反面等),致使全部考查过程复杂化.但这种方法我们务必学会.因为在实际生活以及数学和其他科学中,时常会遇到这样的命题,当时并无直接证明它的论据,必须用间接法来证明它的真实性.(3)用反证法证明命题“若p则q”,它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：肯定条件p“既p又q”为假“若p则q”为真.(4
6、)应用反证法证明数学问题,一般有下面几个步骤：第一步：分清命题“p→q”的条件和结论;第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定q;第三步：由p和q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果;第四步：断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定q不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题p→q为真.(5)第三步所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾,与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.活学巧用例1求证：质数有无穷多.证明：如果质数的个数有限,那么我们可以将全体质数列举如下：p1,p2,…,pk,命q=p1p2…pk+1.q总是有质因数的,但我
7、们可证明任何一个pi(1≤i≤k)都除不尽q.假若不然,由pi除尽q,及pi除尽p1p2…pk可得到pi除尽(q-p1p2…pk),即pi除尽1,这是不可能的.故任何一个pi都除不尽q.这说明q有不同于p1、p2,…,pk的质因数.这与只有p1,p2,…,pk是全体质数的假定相矛盾.所以质数有无穷多.点评：本题是利用反证法证明数学中的一个基础命题,本命题若用直接方法来证明非常困难,因此宜用反证法.例2如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆心,C是SB上一点,求证：AC与平面SOB不垂直.证明：假设AC⊥
