1知某＂堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（)A20.3B32.3C16.3D.竺38.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为A1C1'C1队的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（)A1B石c石-一一丽1032D.109.已知3sina+4cosa=5,则tan2a=()24B3-4c24_724A..D.72510.设F1,Fz分别为双曲线王＿江＝1(a>O,b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在一a2沪点P使得|PF1I+IP和＝2..J;泣且IPF1I·IPF2I=ab,则该双曲线的离心率为（）D抎A.2B.迈C.污＿211.已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则下列命题中错误的是（)A.Sn+l=Sn+qanB.Sn+1=S1+qSnC.S2,S4-S2,S6-S4成等比数列1＂曰，＇D.“q=--定Sn'Sn+2'Sn+l成等差数列”的充要条件212.已知a=e0·1,b＝譬c=ln2，则a、b、c的大小关系为（)A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x+1)=x2+2x+a，若f(l)=1，则a=_.14.已知向谥石＝(2,1),b=(1,0),c=(1,2)，若克／I＠＋m局，则m=15.已知抛物线C：沪＝4x的焦点为F,过F的直线l交C千A、B两点（点A在点B的上方），和AFI=2IFB|，则直线l的方程为.16.在长方体ABCD-A1B1C1队中，BC=3,CC1=2,M为CD的中点，动点P在侧面BCC1趴内，且LAPB=LMPC,则动点P的轨迹的长度为.第2页，共17页
2三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为落实“双减“政策，增强学生体质，某校在初一年级随机抽取了20名学生进行50米往返跑和跳绳测试，测试结果如下表：跳绳一般良好优秀so米往返跑般131良好b32优秀31a由于部分数据丢失，仅知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一位，抽到跳绳优秀的学生的概率为－．(1)求a,b的值；(2)从so米往返跑为优秀的学生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率18.在1::,.ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边，c(acosB+bcosA)=a2-b2+be.(1)求A;(2)若角A的平分线AD交BC于D,且BD=2DC,AD=2../3，求a.
3R19.如图，AB是oo的直径，PA垂直千oo所在的平面，c是圆周上异千A,B的任意一点，AM.1PC千M,AN.1PB千N.A(1)证明：平面PAB.1平面AMN;(2)若AB=AP=2,求三棱锥A-PBC的体积V的最大值．2220.已知椭圆C：王＋兰=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fl'F2,点M(l,~)满足a2沪IMF1I+IMF2I=2a,且t:.MF击的面积为：．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C上的顶点为P,不过点P的直线l交C千A,B两点，若PA上PB,证明直线l恒过定点．21.已知函数f(x)=aex-z-lnx+Ina.(1)若曲线y=f(x)在点(2,/(2)）处的切线方程为y＝扣－1,求a的值；(2)若a:2::e,证明：f(x):2::2.第4页，共17页
4x=tcosa,22.在直角坐标系xOy中，圆C:(x-3)气(y-3)2=9，直线l的参数方程{(ty=tsina.为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C和直线l的极坐标方程；(2)若圆C的圆心到l的距离为王，求直线l的直角坐标方程．223.已知f(x)=21x-11+Ix-21-a,若f(x)~0在R上恒成立．(1)求实数a的取值范围；(2)设实数a的最大值为m,若正数b,C满足~+~=m,求be+c+2b的最小值．
5答案和解析1.【答案】B【解析】解：7集合M={xi-2Sa,·:YA=10-2.5=7.5,YB=15-10=5,...YA>yB,故选：B.第6页，共17页
6样本A的数据均不大千10,而样本B的数据均不小千10,判断平均数大小；由A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，判断方差的大小；求出极差，判断极差的大小．本题考查平均数、方差、极差的大小的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：要得到函数f(x)=cos2x=sin(2x+：)的图象，只需将函数g(x)=sin2x的图象向左平移尸个单位长度，故选：A.根据函数y=Asin(wx+77.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，c.、`｀、、,＇`,、，Bi、,＇暑____NB2一，＇，长1APABC-A1B凸为直三棱柱，AB=AC=AA1=2,PA.l平面AA1B1B,PA=2,120.＼该几何体的体积是丛X2x2x2+.:.X2X2X2==.233故选：A.由三视图还原原几何体，其中ABC-A1B1C1为直三棱柱，AB=AC=AA1=2,PA.L平面AA1趴8,PA=2,再由棱柱与棱锥的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.【答案】D【解析】解：如图，取AB的中点G,连接NG,MN,eel'A1C1'M,N分别为A1Cl'C1B1的中点，Ai,－＇勹＇仁III"J,,,胆,＇c,','一L－-t-•才夕乙夕-所以MN//AB,MN=}AB，所以MN//AG,MN=AG，所以四边形AGNM是平行四边形，所以AM//NG,所以LGNC（或其补角）就是异面直线AM与CN所成的角，设正方体ABCD-A1B1C1队的棱长为2,则A1M=迈，所以AM=~炉＝第8页，共17页
8三＝森＝GN,又CN=GC＝寸12＋沪＝污，GN红NC2-GC2（花）2＋（匈－（污）2=竺，所以在t:,.NGC中，COSLGNC=~=2GN·NC2花x污10所以异面直线AM与CN所成角的余弦值为五!.10故选：D.取AB的中点G,连接NG,MN,GC,则AM//NG,则LGNC（或其补角）就是异面直线AM与CN所成的角，运用余弦定理可求出答案．本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题．9.【答案】C5-4cosa【解析】解：由3sina+4cosa=5,得sina=,3代入sin2a+cos2a=1,得25cos2a-40cosa+16=0,43解得cosa=－，则sina=;,55•3snm32tana-24,:.tana=—=-，则tan2a=~=－仁－=-cosa4·-1-tan'a291－亢7故选：c.由已知结合平方关系求得sina与cosa的值，进一步得到tana,再由二倍角的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：由双曲线的定义可得，IIPF1I-IPF2II=2a,如PF1I+IPF2I=2迈b,1PF1I·IPF2I=ab,则有(IPF1I+IPF计）2-4IPF11·IPF21=8b2-4ab=4a气即有(b-a)(2b+a)=O,即有b=a,即胪＝a2=c2-a气则c2=2a2，则e=~=迈．
9故选：B.由双曲线的定义可得，IIPF1I-IPF2II=2a,两边平方，再由条件，即可得到a,b的关系，再由双曲线的a,b,c的关系式，结合离心率公式，即可求解．本题考查双曲线的定义、性质、离心率，考查运算能力，属千中档题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对千A,Sn+i=a1+a2+…...+an+an+l=Sn+an+1=Sn+qan,A正确；对千B,Sn+i=a1+a2+…….+an+an+1=a1+q(a1+a2+…...+an)=S1+qS如B正确；对千C,当公比q=-l时，S2=S4=S6=0,Sz,S4-Sz,s6-s4不成等比数列，C错误lrr.tc,c_a,[l一（－护I叫1一（号）tt+l]对千D,当q=-~时，Sn+Sn+l=~+3＝牛［2-（－扣－2222叫1一（－今）n＋2]（分）n+l]=2X2反之，若Sn,Sn+2'Sn+l成等差数列，其公比一定不为1,则有Sn+Sn+l=2Sn+2'即a1a1a1-（1—矿）+--(1—qn+l)=2X-（1—qn+2)，变形可得q=-~1-q1-q1-q2即“q＝叶”是“Sn,Sn+2'Sn+l成等差数列”的充要条件，D正确；故选：c.根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列前n项和的性质，属于基础题．12.【答案】B【解析］解：．．．eo.1>eo=1,:.a>l,ln3范竺b=—=—ln3=ln3sc>b,故选：B.第10页，共17页
10利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．13.【答案】1【解析】解：·:函数f(x+1)=x2+2x+a=(x+1)2+a—l,:.f(x)=x2+a—1,若f(l)=1=1+a-l,则a=l,故答案为：1.先求出函数的解析式，再根据f(1)=1，求得a的值．本题主要考查求函数的解析式，求函数的值，屈于基础题．314.【答案】—-2__>【解析】解：由向蛊a=c2,1),b=(1,0),厮＋mb=(2+m,1),又c=(1,2)，句／（石＋m局，则1X1=2(2+m),3则m=－-,23故答案为：--.2由平面向量共线的坐标运算求解即可．本题考查了平面向量共线的坐标运算，属基础题．15.【答案】y=2迈x-2迈【解析】解：沪＝4x的焦点F(l,O),设直线AB的方程为x=my+l(m>0),A(x1,y心B(x2,y2)，且Y1>0,Yz11即有Y1=-2y2,@J由＠＠）解得Y1=2迈，Y2=－石，m＝—,4所以直线l的方程为x=竺y+1,即为y=2迈x-2迈．4故答案为：y=2../.袄－2迈．求得抛物线的焦点坐标，设直线AB的方程为X=my+l(m>0),A(Xi,Y1),B(xz,Yz),且Y1>0,Yz<0，联立直线l的方程和抛物线的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得m,进而得到所求直线l的方程．本题考查抛物线的方程和运用，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运尊能力，属千中档题．2亢16.【答案】3【解析】解：由线面垂直的性质可知，MC上PC,PB上AB,又LAPB=LMPC,所以t:,MCP与1:,ABP相似，由MC==AB得出PB=2PC,2以B为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，由B(O,O),C(3,0),P(x,y),可得x2＋沪＝4[(x-3)2+沪］，化简得出(x-4)2＋沪＝4,则点P的轨迹为EF,J5因为sin乙EGF=~,所以LEGF=:，则行的长度为气·BI,｀严2亢故答案为：一．3第12页，共17页
12由线面垂直的性质以及相似三角形的性质得出PB=2PC，再建立坐标系得出动点P的轨迹，利用保长公式得出动点P的轨迹的长度．本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）由题意得：1+3+1+b+3+2+3+1+a=20{1+2+a1=-204解得a=2,b=4.(2)根据表格，50米往返跑为优秀的学生有6人，记这6人为L2,3,4,5,6,其中5,6表示这6人中跳绳为优秀的学生，从这6人中抽取2人的所有情况为：12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共15种情况，其中至少有一位跳绳优秀的情况有：15,16,25,26,35,36,45,46,56,共9种情况，93．．．其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率P=—=-.155【解析】(1)根据总数和概率列方程组可求出a,b的值．(Z)求出基本事件总数，根据古典概型能求出其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率．本题考查频数、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：（1）在t:,.ABC中，由千c=acosB+bcosA,故c(acosB+bcosA)=a2-护＋be,转换为c2+b2-a2=be,沪＋c2＿吐1整理得cosA==-,2bc2由千：O13范be故AD==2迈，b+c即be=2(b+c),所以b=3,c=6,利用余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=27,解得a=3迈．【解析】(1)直接利用关系式的变换和余弦定理的应用求出A的值；(2)利用内角平分线的定理和三角形的面积公式和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用，内角平分线定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，屈千中档题．p~19.【答案】解：（1）证明：．．．PAl.00所在平面，BCc0O,:.BCl.PA,·:C是圆周上的点，．．．BCl.AC,A·:ACnAP=P,:.BCl.面PAC,·:AMc平面PAC,:.BCl.AM,·:AMl.PC,PCnBC=C,:.AMl.平面PBC,·:PBC面PAC,:.AMl.PB,·:AMnAN=A,:.PBl.平面AMN,·:PBC平面PAB,:平面PABl.平面AMN.(2)三棱锥A-PBC的体积v=¼sAABc.PA,当1:,.ABC的面积取最大值时，三棱锥A-PBC的体积V取最大值，t,.ABC的面积的最大值为S=~x2x1,2．．．三棱锥A-PBC的体积V的最大值为：12vmax=.:X1X2=.:.33【解析】(1)要想证明平面PAB.1平面AMN,即要证明PB.1面AMN，即要证明AM.lPB,即要证明AM.1面PBC,即证明BC.lAM,即证明BC.1平面PAC,由题意得BC.lAC,BC.lPA,由此能证明平面PAB.1平面AMN.(2)当D.ABC的面积取最大值时，三棱锥A-PBC的体积V取最大值，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、第14页，共17页
14面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20【答案】(1)解：由S凸MFlF2=i|F1历1叶＝¾,则团闷＝2=2c,所以C=1,又IMF11+IMF2I=2a,则点M在椭圆上，所以卢＋志＝1，又a2=b气1,联立解得a2=4,b2=3,22所以椭圆C的方程；土+上=1.43(2)证明：由题意P(O，石），根据条件直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为y=kx+m(m千句，A(xvY1),B(x2,Y2),叶:2=k;+m，得（4炉＋3)x2+8kmx+4m2-12=O,—+-=143所以X1气＝寻岊，x凸＝气气早，LI=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)>0,(*)由PA.1PB,则百丙＝0,冗丙＝（X1,Y1一句(x2,Y2望）＝硒＋（Y1一句(y广西）=x凸＋（压＋m－乔）（kx2+m－句=(1+炉）x心＋（m-./3)k(X1飞）+（m喜）2=(1主）x言－（m－乔）kx恚＋（m－戏）27m2-6范m-3==0,3+4k2所以7m2＿硒m-3=0,即(7m＋句（m－句＝0,即m=－享或m＝祁（舍），将m=－亨代入C*).1=64xc-'lfk)2-4x(4k2+3)(4x言－12)>0成立所以直线AB的方程为y=kx—气7丙所以直线AB恒过点(0一)·7【解析】(1)由SAMF1F2=：可得C=1,由题意点M在椭圆上，将点M坐标代入椭圆，结合a2=b2+1可得答案．(2)由题意P(O，乔），根据条件直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为y=kx+m(m*-/3),A(x1,Y1)•B(x2，为），将直线AB的方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，
15由PA上PB,则冗4·丙1=0，将韦达定理代入，可得出答案．本题主要考查椭圆方程的求解，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．21.【答案】解：(l)f'(x)=aex-2-~,13将x=2代入，/'(2)=a—-=-,22解得a=2;(2)要证：f(x)2:2,即证：aex-2-lnx+Ina2:2,继而转化为：ex-2+lna-lnx+lna2:2,ex-2+1na+x-2+Ina2:lnx+X,构造g(x)=ex+x,g'(x)=ex+1>O,故g(x)在R上单调递增，故仅需证明：g(x-2+lna):::::g(lnx),即证明：x-2+l血：：：：：lnx,故仅需证明：lna：：：：：lnx-x+2,构造h(x)=lnx-x+2,h'(x)=~-1,X令h'(x)>O,解得：01622【答案】解：（1）圆C:(x-3)2+(y-3)2=9,转换为x2+y2-6x-6y+9=O,X=pcos0根据{y=psmO，转换为极坐标方程为沪－6pcos0-6psin0+9=0;x2+沪＝p2x=tcosa,参数方程｛(t为参数），转换为直角坐标方程为y=tanax=kx,转换为极坐y=tsina.标方程为a=0(pER);(2)利用圆心(3,3)到直线y=kx的距离d＝史兰巨竺，,/uf'i-2解得k=2土疗；故直线的方程为y=(2土'13)x.【解析l(1)直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用点到直线的距离公式的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3x-4,x~223.【答案】解：（1）令g(x)=2|x-1|+|x-2|={x,1
