怎么证明余弦定理

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1、怎么证明余弦定理第一篇：怎么证明余弦定理怎么证明余弦定理证明余弦定理：因为过c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)+(bsina)=a。又因为b-(bcosa)=(bsina)，所以(c-x)+b-(bcosa)=a，所以c-2cbcosa+(bcosa)+b-(bcosa)=a，所以c-2cbcosa+b=a，所以c+b-a=2cbcosa，所以cosa=(c+b-a)/2bc同理cosb=(a+c-b)/2ac，cosc=(a+b-c)/2ab2

2、在任意△abc中,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac²=ad²+dc²b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosbb²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²b²=c²+a²-2ac*cosb所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴

3、建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而

4、ad

5、=

6、cb

7、=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得

8、asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定

9、理证明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=√(c+(a/2)-ac*cosb)=(1/2)√(4c+a-4ac*cosb)由b=a+c-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b+2c-a)同理可得：mb=mc=4ma=√(c+(a/2)-ac*cosb)=(1/2)√(4c+a-4ac*cosb)由b=a+c-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1

10、/2)√(2b+2c-a)证毕。第二篇：用复数证明余弦定理用复数证明余弦定理法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc为邻边作平行四边形abcc′，则∠bac′=π-∠b，∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb).根据向量的运算：=(-acosb,asinb)，=-=(bcosa-c,bsina),(1)由=：得asinb=bsina,即=.同理可得：=.∴==.(2)由=(b-

11、cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa，又

12、

13、=a,∴a2=b2+c2-2bccosa.同理：c2=a2+b2-2abcosc;b2=a2+c2-2accosb.法二：如图5，,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、(本站推荐)作数量积，可知，即将(1)式改写为化简得b2-a2-c2=-2accosb.即b2=a2+c2-2accosb.(4)这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理.2在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b则c=a+b-2ab*cosca=b+

14、c-2bc*cosab=a+c-2ac*cosb下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a由勾股定理得：c=(ad)+(bd)，(ad)=b-(cd)所以c=(ad)-(cd