余弦定理的证明方法

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1、余弦定理的证明方法第1篇第2篇第3篇第4篇第5篇更多顶部目录第一篇：余弦定理的证明方法第二篇：正余弦定理的多种证明方法第三篇：余弦定理证明过程第四篇：余弦定理及其证明第五篇：余弦定理证明更多相关范文正文第一篇：余弦定理的证明方法余弦定理的证明方法在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b则c=a+b-2ab*cosca=b+c-2bc*cosab=a+c-2ac*cosb下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a由勾股定理得：c=(ad)+(bd)，(ad)=b-(c

2、d)所以c=(ad)-(cd)+b=(a-cd)-(cd)+b=a-2a*cd+(cd)-(cd)+b=a+b-2a*cd因为cosc=cd/b所以cd=b*cosc所以c=a+b-2ab*cosc在任意△abc中,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac²=ad²+dc²b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²b²=

3、sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosbb²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²b²=c²+a²-2ac*cosb所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina)

4、.∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而

5、ad

6、=

7、cb

8、=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc

9、=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=√(c+(a/2)-ac*cosb)=(1/2)√(4c+a-4ac*

10、cosb)由b=a+c-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b+2c-a)同理可得：mb=mc=4ma=√(c+(a/2)-ac*cosb)=(1/2)√(4c+a-4ac*cosb)由b=a+c-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b+2c-a)证毕。第二篇：正余弦定理的多种证明方法利用向量统一正、余弦定理的证明正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关

11、于这两个定理有好几种不同的证明方法，［1］人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（提高版）是用向量的数量积（内积）给出证明的，如是在证明正弦定理时用到：作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义，利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明，方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。定理：在△abc中，ab=c,ac=b,bc=a,则（1）（正弦定理）==；（2）（余弦定理）c2=a2+b2-2abcosc,b2=a2+c2-2accosb,a2=b

12、2+c2-2bccosa。证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=（0，0）、b=（c,0），又由任意角三角函数的定义可得：c=（bcosa,bsin