矢量分析与数理方程总复习题

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1、矢量分析与场论，数理方程与特殊函数总复习题矢量和矢性函数1、求下列两个矢量的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘）2、求下列两个矢性函数的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘），3、设，，，求4、如果，求和5、如果①求，②证明⊥.6、如果证明7、求不定积分，。8、计算不定积分.9、求矢量的单位矢量。方向导数和梯度1、求的方向余弦2、写出矢径的单位矢径，用方向余弦表示3、求矢性函数的方向余弦4、求函数在处沿的方向导数5、求数量场在点处沿方向的方向导数6、求下列数量场的梯度①，②，③③，④，⑥.7、设是常矢量，，证明。通量及散度1、利用通量的定义求矢量

2、通过球面的通量.2、利用奥氏定理求矢量通过球面的通量.3、计算下列矢量场的散度①，②，其中，，③，④，⑤，⑥，其中.4、计算5、设是常矢量，，证明环量及旋度1、求矢量场沿的正方向的环量，其中的参数方程是，，.2、计算下列矢量场的旋度①，②，③.1、设，，是常矢量，求①②4、设是常矢量，，证明有势场、管形场和调和场1、证明下列矢量场是有势场①②2、证明下列矢量场是管形场，3、证明矢量场是调和场4、证明（，，）满足拉普拉斯方程.5、证明是无旋场.6、求下列势函数所对应的矢量场①，②，③③，④，⑥.7、设是常矢量，，证明。数学物理方程，边界条件和初始条件，分离变

3、量1、验证满足一维波动方程2、验证满足一维波动方程3、是一维弦振动的定界问题，指出哪一个条件是边界条件？哪一个是初始条件？什么叫定解条件？什么叫定解问题？3、写出上述定解问题的解，并写出系数的计算公式。4、写出上述定解问题的解，并写出系数的计算公式。4、真空中的电磁场满足麦克斯韦方程组，利用公式推导电磁场的波动方程5、静电场中有其中写出静电势的表达式，推导静电势满足的方程，这是什么方程？6、静电场中有其中写出静电势的表达式，推导静电势满足的方程，这是什么方程？7、利用分离变量将下列偏微分方程分成两个常微分方程①，②8、设弦的两端固定于及，弦的初始位移如图所

4、示，初始速度为零，没有外力作用，假设弦振动时的位移是，写出满足的的定解问题。8、，是定解问题的一个解，写出这个解的节点的位置，它的振动频率9、证明是一维波动方程的解。9、证明是一维波动方程的解。10、将函数展开成如下形式的级数11、利用分离变量，将三维波动方程分解成关于时间的微分方程和空间的偏微分方程。贝塞尔函数，勒让德多项式1、勒让德多项式是什么方程的的解？2、贝塞尔函数是什么方程的解3、利用贝塞尔函数的递推公式计算积分。4、如果，，，将按展开。5、利用贝塞尔函数的递推公式计算积分。6、方程的解是什么？7、方程的解是什么达朗贝尔公式、格林函数、镜像法1、

5、利用达朗贝尔公式解定解问题2、在的半空间中的有一个点电荷，置放在，，假设的平面的电势为零，写出这个点电荷的像的位置。3、写出由上题的两个点电荷所产生的格林函数。4、达朗贝尔公式是一维无界波动方程的解，如果初始速度为零，达朗贝尔公式应该是什么？5、在上式中第一项的物理意义是什么？第二项的物理意义是什么？6、达朗贝尔公式是哪一个定解问题的解？（写出数理方程和定解条件）7、如果一个无限长的弦振动的定解问题是传播的速度是什么？