三重积分、重积分习题

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1、第九章重积分第六讲三重积分、重积分应用习题课教学目的使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算教学重点通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及各是如何化为三次积分．教学难点柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定.教学时数2学时教学过程 一、知识回顾1．三重积分的意义及物理模型(空间物体的质量)2．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分(1)柱面坐标与球面坐

2、标.(2)柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系.(3)直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式.(4)何时用何种坐标计算.3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是(1)往何坐标面上投(2)如何找投影区域物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性.二、练习1．将I=分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中是由曲面z=及z=x+y所围成的闭区域.分析　为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平

3、面上，由于是由两张曲面及，而由这两个方程所组成的方程组极易消去z，我们把它投影到xoy面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．解将投影到xoy平面上，由消去z得(x+y)=2-(x+y)，或(x+y+2)(x+y-1)=0，于是有x+y=1．即知，在xoy平面上的投影为圆域D：x+y1．为此在D内任取一点Q(x，y)，过Q作平行于z轴的直线自下而上穿过．穿入时碰到的曲面为，离开时碰到的曲面为(不画图，仅用代数方法也易判断

4、)，这是因为x+y1)(1)直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z的变化范围从而化为三重积分．因此再由D：x+y1，有，于是在直角坐标下，可表示为:于是有I=.(2)柱面坐标下首先把的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x+y表示为z=，z=表示为z=．再由投影区域D为x+y1．故01，0θ2．于是可表示为：将所给三重积分中的体积元素用=去替换，有I===.(3)球面坐标下用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x+y变为=；曲面z=变为=．由在xoy平面上的投影为x+y1知02，下边找的变化范围．正z轴

5、在内，即内有点P，使与夹角为零，即的下界为零．又曲面z=x+y与xoy平面相切，故的上界为，于是0再找的变化范围．原点在的表面上，故取到最小值为零．为找的上界，从原点出发作射线穿过，由于的表面由两张曲面所组成，因而的上界随相应的的不同而不同．为此在两曲面的交线上取一点A(0，1，1)，故A所对应的．当时，r的上界由曲面r=所给，故这时r．即r的变化范围为0因此I=．由的特点(在xoy平面上的投影为圆域，而本身不是球或球锥)，故采用柱面坐标计算比较简单，这时I===2=．小结(1)计算三重积分时，欲用何种坐标，

6、就要首先把积分区域的表面方程化成用该坐标表示，同时把被积函数中的变量与体积元素替换为该坐标下的形式．(2)将区域向坐标平面作投影时，应考虑向哪个坐标平面更简单．(3)不要认为当积分区域为球体的一部分就应采用球面坐标．球面坐标所适用的积分区域一般为球，两球面所围的区域，或这两种区域被圆锥所截得的部分．本题是由旋转抛物面与球面所围成的区域，一般是不宜用球面坐标的．2．计算三重积分，其中是由曲面x+y+z=1及z=所围成的区域．分析为球面和圆锥面所围成的区域．故从积分区域的特点看，它适宜用球面坐标．同时，被积函数中

7、含有因式x+y+z，故从积分区域与被积函数两方面来看，应选用球面坐标．解在球面坐标下，球面x+y+z=1的方程为r=1，锥面z=的方程为tan=，即，又z轴的正向穿过故的下界为零，因此0．将投影到xoy面，由方程组消去z得x+y=．因此0．该锥体的顶点在原点，故r下界为零，由穿线法可知r故0r1.于是===2．小结当积分区域为由球面与锥角所围成的球锥体时．若锥题的顶点为原点，且Z轴正向穿过积分区域，则有0，且r的下界为零，上界由球面的方程所给出．3．计算其中是由xoy平面上的曲线=2x绕x轴旋转而成的曲面与平

8、面x=5所围成的闭区域分析由第七章的知识知，为由旋转抛物面2x=y与平面x=5所围成．遵循上题的小结2所说的原则由于从两方程要消去x,我们将它投影到yoz平面，(见图2)，不难求出，投影区域为圆域，再由于积分区域与球体无关，故采用柱面坐标，这时要注意把y,z用极坐标代换．还应注意积分区域关于平面y=0,z=0皆对称，且被积函数关于y,z皆为偶函数．因此还应利用积分区域关于坐标平面的对称性与被积函数关