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时间:2018-02-04
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1、高中教材变式题7——《立体几何》1.(人教A版,必修2.P17.第4题)图1是一个几何体的三视图,想象它的几何结构特征,并说出它的名称.图1正视图侧视图俯视图变式题1.如图1-1是一个几何体的三视图(单位:cm)(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;(Ⅲ)设异面直线与所成的角为,求.图1-1俯视图正视图侧视图解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图1-2所示.(Ⅱ)这个几何体是直三棱柱.图1-2由于底面的高为1,所以.故所求全面积 .这个几何体的体积(Ⅲ)因为,所以与所成的角是. 在中,, 故.2.(人教A版,必修2,P20.例3)如图2
2、,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.图2俯视图正视图侧视图变式题2-1.如图2-1.已知几何体的三视图(单位:cm).(Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法);(Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积.图2-1正视图侧视图俯视图解(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2-2所示.(Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆柱(底面半径为1cm,高为2cm),它的上部是一个圆锥(底面半径为1cm,母线长为2cm,高为cm).所以所求表面积,图2-2所求体积.变式题2-2.如图2-3,已知几何体的三视图(单位:cm).(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积
3、;(Ⅲ)设异面直线、所成角为,求.(理科考生)俯视图正视图侧视图图2-3解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2-4所示. (Ⅱ)这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体.图2-4由,,可得.故所求几何体的全面积所求几何体的体积(Ⅲ)由,且,可知,故为异面直线、所成的角(或其补角).由题设知,,取中点,则,且,.由余弦定理,得 .3.(北师大版.必修2.P31.第4题)如图3,已知E,F分别是正方体的棱和棱上的点,且,求证:四边形是平行四边形图3变式题:如图3-1.已知、分别是正方体的棱和棱的中点.图3-2(Ⅰ)试判断四边形的形状;(Ⅱ)求证:平面平面.解(Ⅰ)
4、如图3-2,取的中点,连结、.∵、分别是和的中点,图3-1∴,在正方体中,有, ∴,∴四边形是平行四边形,∴.又、分别是、的中点,∴,∴四边形为平行四边形,∴.故.∴四边形是平行四边形.又≌,∴,故四边形为菱形.(Ⅱ)连结、、.∵四边形为菱形,∴.在正方体中,有,∴平面.又平面,∴.又,∴平面.又平面,故平面平面4.(人教A版,必修2,P74.例2)图4如图4,在正方体中,求直线与平面所成的角.图4-1变式题:如图4-1,已知正四棱柱中,底面边长,侧棱的长为4,过点作的的垂线交侧棱于点,交于点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求与平面所成的角的正弦值.解:(Ⅰ)如图4-2,以为原点,、、所在直线分
5、别为、、轴建立空间直角坐标系.∴.设,则.图4-2∵,∴.∴,∴,.又,∴且.∴且.∴且.∴平面.(Ⅱ)由(Ⅰ)知是平面的一个法向量,又,∴.∴与平面所成角的正弦值为.5.(人教A版,必修2,P87,第10题)如图5,已知平面,且是垂足,试判断直线与的位置关系?并证明你的结论.图5图5-1变式题5-1,如图5,已知平面,且是垂足.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若,试判断平面与平面的位置关系,并证明你的结论.变式题5-1,如图5,已知平面,且是垂足.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若,试判断平面与平面的位置关系,并证明你的结论.解(Ⅰ)因为,所以.同理.又,故平面.(Ⅱ)设与平面的交点为,连结、.因为平面
6、,所以,所以是二面角的平面角.又,所以,即.在平面四边形中,,所以.故平面平面.图5-2变式题5-2.如图5-1,已知直二面角,与平面、所成的角都为,.为垂足,为垂足.(Ⅰ)求直线与所成角的大小;(Ⅱ)求四面体的体积.解:(Ⅰ)如图5-2,在平面内,作,连结、.则四边形为平行四边形,所以,即为直线与所成的角(或其补角).因为.所以.同理.又与平面、所成角为,所以,,所以,.在中,,从而.因为,且为平行四边形,所以.又,所以.故平面,从而.在中,.所以,即直线与所成角的大小为.(Ⅱ)在中,,所以.三角形的面积,故四面体的体积.6.(人教A版,必修2,P87,B组第1题)如图5,边长为2的正方
7、形ABCD中,(1)点是的中点,点是的中点,将分别沿折起,使两点重合于点,求证:.(2)当时,求三棱锥的体积.图6变式题.如图5-1,在矩形中,是的中点,以为折痕将向上折起,使为,且平面平面.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.图6-1解(Ⅰ)在中,,在中,,∵,∴.∵平面平面,且交线为,图6-2∴平面.∵平面,∴.(Ⅱ)设与相交于点,由(Ⅰ)知,∵,∴平面,∵平面,∴平面平面,且交线为,如图6-2,作,垂足
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