高中数学新教材变式题7：《立体几何》

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1、七、立体几何1．（人教A版，必修2．P17．第4题）图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．图1正视图侧视图俯视图变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图（单位：cm）（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线与所成的角为，求．图1－1俯视图正视图侧视图解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图1－2所示．（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．图1－2由于底面的高为1，所以．故所求全面积　　　　　　．这个几何体的体积（Ⅲ）因为，所以与所成的角是．　　　在中，，　　　故．2．（人

2、教A版，必修2，P20．例3）如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．图2俯视图正视图侧视图变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图（单位：cm）．（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．图2－1正视图侧视图俯视图解（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－2所示．（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为cm）．所以所求表面积，图2－2所求体积．变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图（

3、单位：cm）．（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线、所成角为，求．（理科考生）俯视图正视图侧视图图2－3解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－4所示．　（Ⅱ）这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体．图2－4由，，可得．故所求几何体的全面积所求几何体的体积（Ⅲ）由，且，可知，故为异面直线、所成的角（或其补角）．由题设知，，取中点，则，且，．由余弦定理，得　　　　　　　　　　　　　　　　．3．（北师大版．必修2．P31．第4题）如图3，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且

4、，求证：四边形是平行四边形图3变式题：如图3－1．已知、分别是正方体的棱和棱的中点．图3－2（Ⅰ）试判断四边形的形状；（Ⅱ）求证：平面平面．解（Ⅰ）如图3－2，取的中点，连结、．∵、分别是和的中点，图3－1∴，在正方体中，有，　∴，∴四边形是平行四边形，∴．又、分别是、的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴．故．∴四边形是平行四边形．又≌，∴，故四边形为菱形．（Ⅱ）连结、、．∵四边形为菱形，∴．在正方体中，有，∴平面．又平面，∴．又，∴平面．又平面，故平面平面4．（人教A版，必修2，P74．例2）图4如图4，在正方体中，求直线与平面所成

5、的角．图4－1变式题：如图4－1，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的的垂线交侧棱于点，交于点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值．解：（Ⅰ）如图4－2，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．∴．设，则．图4－2∵，∴．∴，∴，．又，∴且．∴且．∴且．∴平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，又，∴．∴与平面所成角的正弦值为．5．（人教A版，必修2，P87，第10题）如图5，已知平面，且是垂足，试判断直线与的位置关系？并证明你的结论．图5图5－1变式题5－1，如图5，已知平面，且是垂足．（Ⅰ

6、）求证：平面；（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．变式题5－1，如图5，已知平面，且是垂足．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．解（Ⅰ）因为，所以．同理．又，故平面．（Ⅱ）设与平面的交点为，连结、．因为平面，所以，所以是二面角的平面角．又，所以，即．在平面四边形中，，所以．故平面平面．图5－2变式题5－2．如图5－1，已知直二面角，与平面、所成的角都为，．为垂足，为垂足．（Ⅰ）求直线与所成角的大小；（Ⅱ）求四面体的体积．解：（Ⅰ）如图5－2，在平面内，作，连结、．则四边形为平行四边

7、形，所以，即为直线与所成的角（或其补角）．因为．所以．同理．又与平面、所成角为，所以，，所以，．在中，，从而．因为，且为平行四边形，所以．又，所以．故平面，从而．在中，．所以，即直线与所成角的大小为．（Ⅱ）在中，，所以．三角形的面积，故四面体的体积．6．（人教A版，必修2，P87，B组第1题）如图5，边长为2的正方形ABCD中，（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，求证：．（2）当时，求三棱锥的体积．图6变式题．如图5－1，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面

8、所成角的正弦值．图6－1解（Ⅰ）在中，，在中，，∵，∴．∵平面平面，且交线为，图6－2∴平面．∵平面，∴．（Ⅱ）设与相交于点，由（Ⅰ）知，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面，且交线为，如图6－2，作，垂足为，则平面，连结，则