2021年二次函数实根分布

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1、二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点〔图象与x轴的交点〕问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来讨论是特别有益的；22设f〔x〕=ax+bx+c〔a≠0〕的二实根为x1,x2，〔x1＜x2〕，Δ=b-4ac，且α、β〔α＜β〕是预先给定的两个实数；1．当两根都在区间〔α,β〕内，方程系数所满意的充要条件：两种情形合并后的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af〔α〕＞0，af〔β〕＞0①2．当两根中有且仅有一根在区

2、间（α，β）内，方程系数所满意的充要条件：∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f〔x〕的图象有以下四种情形（图2）∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f〔x〕的图象有以下两种情形〔图1〕当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f〔α〕＞0，f〔β〕＞0当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f〔α〕＜0，f〔β〕＜0从四种情形得充要条件是：f〔α〕·f〔β〕＜0②3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满意的充要条件：（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时：∵x1

3、＜α＜β＜x2，对应的函数f〔x〕的图象有以下两种情形（图3）：当a＞0时的充要条件是：f〔α〕＜0，f〔β〕＜0当a＞0时的充要条件是：f〔α〕＞0，f〔β〕＞0两种情形合并后的充要条件是：af〔α〕＜0，af〔β〕＜0③（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时：∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f〔x〕的图象有以下四种情形（图4）：当x1＜x2＜α时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＜α，af〔α〕＞0④当β＜x1＜x2时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＞β，af〔β〕＞0⑤二

4、次函数与二次不等式前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间；解不等式与证明不等式成立，常常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与x轴的位置关系等；例题讲解21.已知方程x+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，就P的取值为；222.假如方程（1-m）x+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，试确定m的范畴；1.已知二次函数f〔x〕=ax2+bx+c〔a≠0〕.如方程f〔x〕=x无实根，求证：方程f[f〔x〕]=x也无实根，22.对二次函数f〔x〕=ax+

5、bx+c〔a≠0〕，求证，必存在x=±M≠0，使f〔±M〕均与a同号；2225.如a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn都是实数，求证：（a1b1+a2b2+⋯+anbn）≤〔a1+a2+⋯2222+an〕〔b1+b2+⋯+bn〕26.设二次函数f〔x〕=ax+bx+c〔a＞0〕，方程f〔x〕-x=0的两个根x1,x2满意0＜x1＜x2＜1/a；（1）当x∈〔0,x1〕时，证明x＜f〔x〕＜x1（2）设函数f〔x〕的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜x1/2；227.当K为什么实数时，关

6、于X的二次方程7x-〔k+13〕x+k-k-2=0的两个实根α和β分别满足0＜α＜1和1＜β＜2？8．函数y=〔x+1〕〔x+2〕〔x+3〕〔x+4〕+5在［-3,3］上的最小值是；例题答案：21．解：记f〔x〕=x2+2px+1，就f〔x〕r的图象开口向上，当f〔x〕与x轴的两交点一个在（1,0）左方，另一个在（1,0）右方时，必有f〔1〕＜0，即：1+2P＋1＜0，即P＜－12所以P的取值为（－∞，－1）22．解：令f〔x〕=〔1-m〕x+2mx-1，依据题设条件，f〔x〕的图形是以下两种情

7、形之一（图5）：2得充要条件：（1-m）f〔0〕＜0,〔1-m2〕f〔1〕＜0；即1-m2＞0,〔1-m2〕〔2m-m2〕＜0解得：-1＜m＜023.证明：已知f〔x〕=ax+bx+c〔a≠0〕22方程f〔x〕=x即f〔x〕-x=ax+〔b-1〕x+c=0无实根，f〔x〕-x仍是二次函数，f〔x〕-x=0仍是二次方程，它无实根即Δ=〔b-1〕-4ac＜0如a＞0，就函数y=f〔x〕-x的图象在x轴上方，∴y＞0，即f〔x〕-x＞0恒成立，即：f〔x〕＞x对任意实数x恒成立；∴对f〔x〕，有

8、f〔f〔x〕〕＞f〔x〕＞x恒成立∴f〔f〔x〕〕=x无实根如a＜0，函数y=f〔x〕-x的图象在x轴下方∴y＜0，即f〔x〕-x＜0恒成立∴对任意实数x，f〔x〕＜0恒成立∴对实数f〔x〕，有：f〔f〔x〕〕＜f〔x〕＜x恒成立∴f〔f〔x〕〕=x无实根综上可知，当f〔x〕=x无实根时，方程f〔f〔x〕〕=x也无实根3.分析：这是一道证明题；从图象上看，当a＞0时，抛物线开口向上，f〔x〕＞0的解集要么为全体实数集合R（△＜0〕；要么为（-∞,x0）∪〔x0,+∞〕〔Δ=0,f〔