应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇第三章部分习题解答

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1、2XNnμσ2InAArr≤n因A为对称幂等阵而对称幂等阵的特征值非0即1且只有r个非0特征值即存在正交阵Γ其列向量ri为相应特征向量使34其中非中心参数为5Xnμσ2InABnABX′AXX′BXArAnΓΓAΓλ1…λrYΓ′XYNnΓμσ2InriiiYAΓΓΓYAΓΓΓYAXX126XBXYΓBΓYYHYHΓBΓXBXYr1…YnH0XAXXBX7ArrnABOBOn×nX′AXX′BXrArn.AnΓ8λiAi…rr由ABO可得DrH11ODrH12O.因Dr为满秩阵故有H11Or×rH12Or×n-r

2、.由于H为对称阵所以H21On-r×r.于是9Y1…YrYr1…YnX′AXX′BX令YΓ′X则YnΓ′μσ2In且riiiYAΓΓΓYAΓΓΓYAXX12nrnrYYHYYHYYBΓΓΓYBXX1221BΓΓH10设XNpμ∑∑0A和B为p阶对称阵试证明X-μ′AX-μ与X-μ′BX-μ相互独立∑A∑B∑0p×p.3-3记1212111”ξηOBAOBAOCD2121212112性质4分块Wishart矩阵的分布:设XαNp0∑α1…n相互独立其中又已知随机矩阵rpr22211211W222112111nrpr

3、WWWWXXWpn试证明Wishart分布的性质4和T2分布的性质5.3-413证明:设21rpnrnijpnXXxX00则22211121rprNXNXrprXXX记则2212211122211211WWWWXXXXXXXXXXW22112211XXWXXW即14.221222222nrpnWXXXXW∑12Oα12…n相互独立.故有W11与W22相互独立.21与XX111111111nrnWXXXXW由定义3.1.4可知15性质5在非退化的线性变换下T2统计量保持不变.证明:设Xαα1…n是来自p元总体Npμ

4、∑的随机样本X和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵则由性质1有.11212npTXAXnnTxx1...iiYCXdin其中C是pp非退化常数矩阵d是p1常向量。则...21niCCdCNYpi1622xyTT21112111xxxyyyyTXAXnnXCCCACXnnYAYnnTdXCYCCACXXXXCYYYYAxiniiiniiy11所以dCy记173-5对单个p维正态总体Npμ∑均值向量的检验问题试用似然比原理导出检验H0:μμ0∑∑0已知的似然比统计量及分布.解:总体XNpμ∑0∑00设Xαα

5、1…nnp为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为maxmax0000LLnnXX101002/021exp21分子nnXX100102/0tr21exp21P66当∑∑0已知μ的检验18tr21exp21分子0102/0Anmax分母00LXLnnXXXX1102/021exp21nnXXXX1102/0tr21exp21tr21exp21102/0An19maxmax0000LL21tr21trexp01010AA21tr21trexp001010XXnAAtr2exp0100XXn2exp0100XXn2

6、02ln0100XXndef0100ln2XXn010下000下00pHpHNXnnNX.ln22p因32.1213-6均值向量各分量间结构关系的检验设总体XNpμ∑∑0Xαα1…nnp为来自p维正态总体X的样本记μμ1…μp′.C为k×p常数k0.05.H0.453.2.1nξ-2lnλχ2ffppp1/2-pp3V0.7253λ0.1240ξ-2lnλ-n×lnV4.1750p0.24320.05.H0.463-13对表3.3给出的三组观测数据分别检验是否来自4维正态分布.1对每个分量检验是否一维正态2利用χ

7、2图检验法对三组观测数据分别检验是否来自4维正态分布.