标准差的应用-偏度系数

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1、标准差的应用    标准差除了直接作为分布数列的离散程度指标，是与反映分布数列集中趋势的平均数相匹配的一个重要特征值之外，它还可以被当作一种基本的测度单位，构造更为复杂的指标，用于社会经济现象的测定，标准差应用的重要方面和常见指标有：3.3.1测定分布的偏度偏度系数SK      变量数列的单峰钟形分布有对称分布的非对称分布，非对称分布包括不同程度的左偏态分布和右偏态分布。这种分布形态的差异，表明现象的数量特征，往往具有重要的社会经济意义。为了准确地测定分布的偏斜程度和进行比较分析，最常见的方法是计算偏度

2、系数。它是以标准差为度量单位计量的众数与算术平均数的离差，用SK表示。 (3.17)   式中：SK为偏度系数，其余符号同前。SK为无量纲的系数，通常取值在[-3 +3]之间。其绝对值大，表明偏斜程度大；反之，则表明偏斜程度小。当分布呈右偏态时，>MO，（MO）>0，SK>0，故也称正偏态；当分布呈左偏态时，

3、                                      式中：a为偏度系数，m3为三阶中心矩，为标准差的三次方。   这里用到的“矩”的概念原是物理学中表示力与力臂对重心关系的术语，统计学把变量与权数对平均数的关系类比于“矩”，用来描述频数分布的性质。一般地说，取变量中的A值为中点时，定义(3.19）   为变量X关于A的K阶矩。当A=0时，即变量以原点为中心，上式称为原点K阶矩，用MK表示。如取K为1、2、3时，便有：   一阶原点矩 M1=ΣX/n（即算术平均数）   二阶原点矩 

4、M2=ΣX2/n   三阶原点矩 M3=ΣX3/n    当A=时，即以算术平均数为中心，上式称为K阶中心矩,用mk表示。如取K为1、2、3时，便有：一阶中心矩m1== 0二阶中心矩m2= =σ2   （即方差）三阶中心距m3=   统计上用三阶中心矩来计算偏度系数，是因为中心矩本身可以通过高于平均数的离差之和与低于平均数的离差之和的比较，来显示分布的对称与非对称性。显然，当高于平均数的离差之和与低于平均数的离差之和相等时，全部离差之和等于零，分布为对称分布；当这两种离差之和不相等时，经正、负相互抵消之后

5、，结果便可显示出分布的偏斜程度。从偏度系数不难看出，a=0，分布是对称的；    a<0分布呈负偏态，a值越小，负偏程度越高；   a>0,分布呈正偏态,a值越大，正偏程度越高。