人教版数学必修一习题

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1、指数函数与对数函数的关系　　　　　　　　　　　　撰稿：江用科　　审稿：严春梅　　责编：张杨一、目标认知学习目标　　理解反函数的概念、互为反函数的图象间的关系；　　指数函数与对数函数互为反函数的关系.重点　　反函数的概念及互为反函数图象间的关系.难点　　反函数概念.二、知识要点透析知识点一、反函数的概念及互为反函数两函数间的关系1.反函数概念：　　当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数.函数的反函数通常用表示.　　要点诠释：　　(

2、1)对于任意一个函数，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这　　　　个函数才存在反函数；　　(2)反函数也是函数，因为它符合函数的定义.2.互为反函数的图象关系：　　关于直线对称；3.互为反函数的定义域和值域关系：　　反函数的定义域与值域是原函数的值域和定义域.4.求反函数的方法步骤：　　(1)由原函数y=f(x)求出它的值域；　　(2)由原函数y=f(x)反解出x=f-1(y)；　　(3)交换x,y改写成y=f-1(x)；　　(4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域.知识点二、指数函数与对数函数的关系

3、　　指数函数与对数函数互为反函数.　定义定义域值域图象性质指数函数y=ax(a＞0且a≠1)叫指数函数(-∞，+∞)(0，+∞)(1)图象过点(0，1)(2)a＞1，当x＞0，y＞1；当x=0，y=1；当x＜0时0＜y＜1。0＜a＜1，当x＞0，0＜y＜1；当x=0，y=1；当x＜0，y＞1。(3)a＞1，y=ax为增函数；0＜a＜1，y=ax为减函数。对数函数y=logax(a＞0且a≠1)叫对数函数(0，+∞)(-∞，+∞)(1)图象过点(1，0)(2)a＞1时，当x＞1，y＞0；当x=1，y=0；当0＜x＜1，y＜0.0＜

4、a＜1时，当0＜x＜1，y＞0；当x=1，y=0；当x＞1，y＜0.(3)a＞1，y=logax为增函数；0＜a＜1，y=logax是减函数.注意：指数函数、对数函数底数变化与图象分布规律.　　(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　①y=ax②y=bx③y=cx④y=dx则：0＜b＜a＜1＜d＜c　　又即：x∈(0，+∞)时，bx＜ax＜dx＜cx(底大幂大)　　x∈(-∞，0)时，bx＞ax＞dx＞cx　　(2)　　　　　　　　　　　　　　　　①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx　　则有：0＜b

5、＜a＜1＜d＜c　　又即：x∈(1，+∞)时，logax＜logbx＜0＜logcx＜logdx(底大对数小)　　x∈(0，1)时，logax＞logbx＞0＞logcx＞logdx经典例题透析类型一、求函数的反函数　　1．已知f(x)=(0≤x≤4)，求f(x)的反函数.　　思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域).　　解：∵0≤x≤4，∴0≤x2≤16，9≤25-x2≤25，∴3≤y≤5，　　　　∵y=，y2=25-x2，∴x2=25-y2.∵0≤x≤4，∴x=(3≤y≤5)　　　　将x，y互换，∴f(x)的反函数f-1(

6、x)=(3≤x≤5).　　2．已知f(x)=，求f-1(x).　　思路点拨：求分段函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.　　解：当x≥0时，y=x+1≥1，∴y∈[1，+∞)，∴f-1(x)=x-1(x≥1)；　　　　当x＜0时，y=1-x2＜1，∴y∈(-∞，1)，　　　　反解x2=1-y，x=-(y＜1)，∴f-1(x)=-(x＜1)；　　　　∴综上f-1(x)=.类型二、利用反函数概念解题　　3.已知f(x)=(x≥3)，求f-1(5).　　思路点拨：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数

7、的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.　　解：设f-1(5)=x0，则f(x0)=5，即=5(x0≥3)∴x02+1=5x0-5，x02-5x0+6=0.　　　　解得x0=3或x0=2(舍)，∴f-1(5)=3.　　举一反三：　　【变式1】记函数y=1+3-x的反函数为，则g(10)=()　　A．2　　　B．-2　　　C．3　　　D．-1　　(法一)依题意，函数的反函数y=-log3(x-1)，因此g(10)=-2.　　(法二)依题意，由互为反函数的两个函数的关系，得方程1+3-x=10，解得x=-2，即g(10)

8、=-2.答案B.　　4.设点(4，1)既在f(x)=ax2+b(a＜0，x＞0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.　　思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a，b