探究型学习课程：一直线两等分图形面积

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1、探究型学习课程：一直线两等分图形面积教学目标知识与技能：利用轴对称、中心对称性质，利用各种图形的面积公式，利用图形的转化等多种方法平分图形面积。思想与方法：培养学生从特殊到一般和划归的数学思想以及类比、归纳的数学思维品质。情感与态度：培养学生的团队协助，分析选择最佳方法的自我探索、创新的精神。课前准备1、制作等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形纸片若干；2、画有三角形、平行四边形、梯形等图形的试验图纸若干；3、将学生分成7～8人一组，以便交流。教学过程（一）试验引导可以考虑情景性的引入：如土地改革，尼罗河泛滥后分地等师：借助已备的纸片进行操作，如何在下列图形中作一直线将图形面积分成相

2、等的两部分？学生独立思考，讨论，回答问题师：通过刚才的试验操作你们发现了什么？生：这些都是轴对称图形，只要画出对称轴就能分成面积相等的两部分。师：那对于一般的三角形，平行四边形、梯形能不能作一条直线将其面积两等分？（二）问题引导问题1：如图，在△ABC中，能不能作一直线将其面积分成面积相等的两部分吗？并说明你的理由生：只要作三角形一边上的中线所在直线就可以将三角形分成面积相等的两部分，理由这两部分的面积等底同高。可以顺便问一下：角平分线可以吗？问题2：在平行四边形ABCD中，能否作一直线将其面积分成面积相等的两部分呢？生甲：对角线所在直线可以将平行四边形分成面积相等的两部分生乙：对边中点

3、所连直线能把平行四边形分成面积相等的两部分师：还有没有更一般的方案？生丙：只要过对角线的任意画一条直线，就能把面积两等分。师：为什么呢？生丙：因为平行四边形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等。师：我们能否把上述画法推广到矩形、菱形、正方形当中？为什么？生：可以，因为他们也都是中心对称图形。师：那对于其他组合图形呢？我们又如何用一直线将其面积平分呢？例如“方角铁皮”生：我们可以把它分成两个矩形，根据中心对称的性质，这两矩形对角线所连直线可以把这快方角铁皮面积两等分。问题3：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，能否作一直线将梯

4、形分成面积相等的两部分吗？学生可能提出的对角线所在直线或中位线所在直线两个方案两个方案，可通过举反例观察图形否定。生：两底中点所在直线，，而显然直线EF把梯形面积分割成等积的两部分。师：请大家认真思考，当我们解决梯形问题产生困难时，我们常常把梯形转化为什么图形？生：可以现把梯形转化为三角形，取DC中点E延长AE交BC的延长线于F，取BF的中点G，直线AG平分三角形ABG，也平分了梯形ABCD。生：我想到把梯形面积转化为平行四边形。取DC中点H，过H作直线IJ与AB平行，分别交AD的延长线和BC于I、J两点。则梯形ABCD的面积与平行四边形AIJB的面积相等，而对角线所在直线AJ平分了平行

5、四边形的同时也平分了梯形ABCD的面积。师：是不是构成平行四边形后，根据前面我们讨论的，过该平行四边形对称中心的任意直线都可以在平分平行四边形面积的同时平分梯形面积？生：否，该直线必须保证和两底相交而不与腰相交，否则只能平分平行四边形，而不能平分该梯形的面积。师：这两个方法都很好，他们都把未知问题－直线平分梯形面积，转化为我们熟悉的数学问题直线平分三角形和直线平分平行四边形来解决，这是我们解决数学问题常用的思想方法。还有没有别的方法？生：以上方法都太繁琐，我认为只要过中位线中点O且与上底有交点的直线直线，都可以平分该梯形面积。师：请简述你的理由生：因为梯形的面积等于“中位线×高”，现在高

6、相等，而OK＝1/2KM，所以两部分面积相同。师：非常精彩！我想这位同学正是受到了过平行四边形对角线的交点的任意直线都可以平分面积的启发。这种类比的数学思想十分了得，值得大家学习。（三）引导概述、布置作业师：用直线平分图形的面积可是一个大学问，大家回忆下通过这节课的学习，你学到了哪些数学知识，思想方法？分两个问题生：我们运用了中心对称、轴对称分割图形面积；运用了相关的面积公式，数学知识方面似乎还有，如中线运用了划归和类比的思想方法，等等！师：平分三角形、梯形面积的方法还有很多，这在实际生活中还有广泛的应用，比如我们可以将其用来平分一个蛋糕，均分一块土地等等，所以我们有必要把这个问题研究透

7、，大家可1）任意四边形的面积两等分的方法探究2）方角铁皮面积平分的多种方法探究3）用最省的材料对以下花圃进行等积分割问题